📈 Матанализ

Ограниченность функции

англ. Boundedness of a function

Функция ограничена, если все её значения умещаются в отрезок [−M; M]: |f(x)| ≤ M; синус и косинус ограничены единицей, парабола и экспонента — нет.

Функция ограничена, если существует число $M$ такое, что $∣ f (x) ∣ \leq M$ для всех $x$ из области определения — весь график умещается в горизонтальную полосу. Синус и косинус ограничены единицей: никаких углов с $sin x = 2$ не существует, и это же условие $∣ a ∣ \leq 1$ — первая проверка в простейших тригонометрических уравнениях. Парабола $y = x^{2}$ ограничена снизу нулём, но не сверху; экспонента ограничена снизу нулём; прямая не ограничена ни с какой стороны.

Различают ограниченность сверху, снизу и с двух сторон. Прикладной смысл — предел допустимых значений: у смешанного уравнения $a sin x + b cos x = c$ левая часть ограничена амплитудой $R = a^{2} + b^{2}$ , и сравнение $∣ c ∣$ с $R$ мгновенно отвечает, есть ли решения — приём разобран на странице метод вспомогательного угла. Непрерывная функция на отрезке всегда ограничена (вторая теорема Вейерштрасса), на интервале — нет: $y = \frac{1}{x}$ на $(0; 1)$ уходит в бесконечность, оставаясь непрерывной.

\exists M > 0 : ∣ f (x) ∣ \leq M \forall x; ∣ a sin x + b cos x ∣ \leq a^{2} + b^{2}

определение; оценка для смешанной тригонометрической суммы — основа метода оценки

Частые вопросы

Ограничена ли функция 1/x на всей области определения?

Нет. На любом отрезке, не содержащем ноль, она ограничена, но в окрестности нуля значения уходят в бесконечность: при $x = 0, 001$ значение уже $1000$ . Функция ограничена снизу по модулю только локально; глобальной границы $M$ для всей области не существует — на любой $M$ найдётся $x$ , где $\frac{1}{x}$ больше.

Чем ограниченность связана с существованием наибольшего значения?

Связь есть, но не тождество. Ограниченность гарантирует, что значения зажаты, но максимум может не достигаться: у $y = x$ на интервале $(0; 1)$ есть ограничение единицей, а наибольшего значения нет — единица не входит в область. На отрезке непрерывная функция максимум достигает; на открытом интервале — нет. Проверяйте и область, и непрерывность.