Метод сеток

Непрерывную задачу компьютер переваривает лишь после перевода на язык таблицы чисел. Метод сеток — общий приём решения краевых задач для уравнений в частных производных: область покрывается сеткой узлов, производные заменяются разностными отношениями по соседним узлам, и вместо дифференциального уравнения возникает система алгебраических уравнений для значений в узлах. Набор узлов, через которые записана каждая разность, называют шаблоном, а полученную конструкцию — разностной схемой. Подход универсален: остывающий стержень, бегущая волна, стационарное поле — везде уравнение превращается в сеточную задачу, которую решают методами линейной алгебры. Особенно естественно он ложится на постановки, где данные заданы на границе целиком: типы условий — Дирихле, Нейман и третий род — собраны в статье краевая задача.

Классический пример — пятиточечный шаблон для уравнения Лапласа: значение в узле выражается через четырёх соседей, и на сетке $21\times 21$ задача превращается в систему из $441$ уравнения. Для остывающего стержня длины $1$ с шагом $\Delta x=0,1$ получается одиннадцать узлов и девять внутренних неизвестных; явная схема по времени требует $\Delta t\le 0,005$, то есть около двухсот шагов на одну секунду процесса. Типичные грабли: нарушенная устойчивость — решение взрывается осцилляциями; неточная передача граничных условий — ломается симметрия, обещанная физикой; слишком грубая сетка — резкие фронты превращаются в лесенку. Стационарные задачи, где время отсутствует, — территория уравнения Лапласа: его решения не имеют внутренних экстремумов, и сеточный максимум обязан сидеть на границе.