🔢 Численные методы

Разностная схема

англ. Finite difference scheme

Дифференциальное уравнение, пересаженное на сетку: производные заменены разностями соседних узлов; сходимость держится на паре «аппроксимация плюс устойчивость» (теорема Лакса).

Непрерывное движение кино показывает кадрами — и почти ничего не теряет, если кадры достаточно частые. Разностная схема делает то же с дифференциальным уравнением: производные заменяются разностями значений на сетке, непрерывная задача превращается в цепочку арифметики. Первая производная — через соседей: $(u_{i + 1} - u_{i - 1}) / (2 h)$ ; вторая — трёхточечная: $(u_{i + 1} - 2 u_{i} + u_{i - 1}) / h^{2}$ . К схеме прилагаются начальные и граничные условия. Три кита качества: аппроксимация (сеточное уравнение близко к исходному), устойчивость (ошибки не разрастаются) и сходимость — по теореме Лакса для линейных задач первые две влекут третью.

Проверка на числах. Вторая производная $x^{4}$ в точке $1$ равна $12$ ; трёхточечная формула с $h = 0.1$ даёт $(1. 1^{4} - 2 + 0. 9^{4}) /0.01 = 12.02$ — отклонение ровно $h^{2} \cdot 24/12 = 0.02$ , второй порядок в действии. Для ОДУ $y^{'} = y$ явная схема Эйлера $y_{n + 1} = (1 + h) y_{n}$ за десять шагов $h = 0.1$ приходит к $1. 1^{10} = 2.5937$ против $e = 2.7183$ : ошибка $0.1245$ , первый порядок — при $h = 0.05$ останется $0.0650$ . Неявные платят решением уравнения на шаге, зато устойчивы при крупном шаге. Всё это — в уроке численное решение ОДУ, разности как замена производных — в численном дифференцировании, счёт за неаккуратность предъявляют источники погрешностей.

\frac{u _{i + 1} - 2 u _{i} + u _{i - 1}}{h ^{2}} \approx u^{''} (x_{i}), погрешность аппроксимации O (h^{2})

трёхточечная схема второго порядка: для

x^{4}

в точке

1

она даёт

(1. 1^{4} - 2 + 0. 9^{4}) /0.01 = 12.02

против точного

12

— отклонение

0.02 = h^{2} \cdot 24/12

Частые вопросы

Что ломается, если схема неустойчива?

Всё, и красиво. Аппроксимация может быть идеальной, но каждое округление — возмущение, которое схема либо гасит, либо раскачивает. Неустойчивость размножает шум от шага к шагу: на сетке вспухают зигзаги, растут амплитуды, и решение уходит в бесконечность задолго до конца расчёта, хотя уравнение решено «правильно». Поэтому перед счётом схему анализируют — например, методом Неймана, раскладывая возмущения по гармоникам, — и уточняют ограничение на шаг.

Явная схема или неявная — что выбирать?

Считайте цену обоих. Явная схема мгновенна на шаге, но диктует ограничение на шаг — для теплопроводности шаг связан квадратично с сеткой, и мельчание сетки дорого. Неявная устойчива при любом шаге, но требует решать систему на каждом шаге; для линейных задач с трёхдиагональной матрицей это дёшево — работает прогонка. Для жёстких задач выбора нет: неявные. Для коротких гладких расчётов явная схема проще, а контроль точности ведётся двойным пересчётом шага.