Линейная оболочка

Смеситель красок: дали три базовые краски — всё, что можно намешать из них в любых пропорциях, и есть линейная оболочка набора. Формально: $\mathrm{span}(v_1,\dots ,v_k)$ — множество всех векторов ${\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_k{v}_k$ по всем коэффициентам. Это всегда подпространство: ноль внутри, замкнутость относительно сложения и умножения на число проверяется мгновенно. Оболочка — минимальное подпространство, содержащее исходные векторы: любое другое подпространство, где живут $v_i$, содержит и все их комбинации.

Геометрия на живых примерах. Оболочка одного ненулевого вектора — прямая через начало: $\mathrm{span}((2,1))=\{(2t,t)\}$. Оболочка двух векторов — плоскость, если они независимы, и прямая, если пропорциональны: $\mathrm{span}((1,2),(2,4))=\mathrm{span}((1,2))$ — второй вектор ничего не добавил, «дубликат». В ${\mathbb{R}}^3$ векторы $(1,0,0)$ и $(0,1,0)$ дают горизонтальную плоскость $z=0$; добавка $(0,0,1)$ разворачивает оболочку во всё пространство. Размерность оболочки равна рангу системы векторов — числу независимых среди них, а «лишние» пропорциональные векторы размерности не поднимают. Связь с СЛАУ прямая: вопрос «принадлежит ли $b$ оболочке столбцов $A$» — это вопрос совместности $Ax=b$. Дальше в тему: ранг матрицы и урок векторы и операции.