📈 Матанализ

Кривизна кривой

англ. Curvature of a curve

Мера скорости поворота касательной при движении вдоль кривой: k = |r′ × r″|/|r′|³; обратна радиусу соприкасающейся окружности.

Кривизна кривой отвечает на вопрос: насколько резко кривая поворачивает? Формально это скорость поворота касательной на единицу длины дуги: $k = \frac{d φ}{d s}$ . Прямая не поворачивает — её кривизна нулевая. Окружность радиуса $R$ поворачивает равномерно: полный оборот $2 π$ на длине $2 π R$ даёт $k = 1/ R$ , и это эталонное измерение поворота: радиус соприкасающейся окружности $ρ = 1/ k$ — радиус окружности, лучше всего прилегающей к кривой в точке.

Рабочие формулы: для графика $y = y (x)$ кривизна $k = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{'2} ) ^{3/2}}$ ; для векторной параметризации $r (t)$ — $k = \frac{∣ r ^{'} \times r ^{''} ∣}{∣ r ^{'} ∣ ^{3}}$ через векторное произведение. Кривизна — фундамент дифференциальной геометрии и механики: изгиб балки пропорционален кривизне упругой линии, траектория частицы в поле — кривизна через силу и скорость. Обобщение на второй поворот пространственной кривой — кручение кривой.

k = \frac{d φ}{d s} = \frac{∣ r ^{'} \times r ^{''} ∣}{∣ r ^{'} ∣ ^{3}}; y = y (x) : k = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{'2} ) ^{3/2}}; ρ = \frac{1}{k}

определение, рабочие формулы и радиус кривизны

Частые вопросы

Почему у окружности кривизна 1/R, а не R?

По определению кривизна — скорость поворота на единицу длины, а не сам радиус. Большая окружность поворачивает плавно (разворот на 90° требует четверти огромной длины), маленькая — резко. Обратная связь $k = 1/ R$ согласуется с интуицией: маленький радиус — крутой поворот.

Кривизна зависит от параметризации кривой?

Нет: кривизна — свойство самой кривой как геометрической фигуры. Формула с векторным произведением инвариантна: замена параметра меняет $r^{'}$ и $r^{''}$ , но их комбинация даёт то же число. Зависеть от параметра может лишь знак у кручения — из-за ориентации бинормали.