Кручение кривой

Плоская кривая характеризуется одной кривизной; пространственной нужен второй параметр — кручение. В каждой точке пространственной кривой живут три вектора Френе: касательная $\mathbf{T}$, нормаль $\mathbf{N}$ и бинормаль $\mathbf{B}=\mathbf{T}\times \mathbf{N}$, образующие соприкасающуюся плоскость — плоскость, к которой кривая прижимается в окрестности точки. Кручение измеряет, как быстро эта плоскость проворачивается при движении вдоль кривой: $\chi =-\frac{d\mathbf{B}}{ds}\cdot \mathbf{N}$.

Смысл: плоская кривая живёт в одной соприкасающейся плоскости, её кручение нулевое. Пространственная кривая «выкручивается» из плоскости — винтовая линия, канонический пример, имеет постоянные кривизну и кручение, а их отношение задаёт шаг винта. Знак кручения различает правые и левые спирали — в химии так различают энантиомеры, в биологии — правую и левую спираль ДНК. Координатная формула: $\chi =\frac{({\mathbf{r}}^{\prime },{\mathbf{r}}^{\prime \prime },{\mathbf{r}}^{\prime \prime \prime })}{|{\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }{|}^2}$ через смешанное произведение. Теорема о фундаментальной теореме кривых: кривизна и кручение как функции длины дуги задают кривую с точностью до движения в пространстве.