⚙️ Теормех

Количество движения системы

англ. Linear momentum of a system

Векторная сумма импульсов всех точек системы K = Σmv = M·v_c; её производная равна главному вектору внешних сил — фундамент законов сохранения в динамике систем.

Для одной точки импульс $m v$ — рабочая величина второго закона Ньютона. Для системы точек его обобщает количество движения системы: векторная сумма $K = \sum m_{i} v_{i}$ . Изящный факт: сумма равна $M v_{c}$ — полной массе, умноженной на скорость центра масс, поэтому внутренние взаимодействия в сумме сокращаются. Теорема об изменении количества движения: производная $K$ равна главному вектору внешних сил, $d K / d t = \sum F^{внеш}$ . В интегральной форме: изменение импульса за промежуток равно импульсу внешних сил — толчкам, которые система получила извне. Внутренние силы, как ни старайся, полный импульс не изменят — это свойство спасает от ошибок в задачах о реактивном движении и разрывах. Системная динамика — в уроке динамика системы точек.

Следствия ощущаются ежедневно. Внешние силы отсутствуют или взаимно уравновешены — импульс системы сохраняется: снаряд разорвался — осколки разлетелись так, что векторная сумма их импульсов равна импульсу снаряда до взрыва; человек прыгнул с лодки — лодка отплыла в противоход ровно на $m_{1} v_{1} = m_{2} v_{2}$ . В проекции на ось без внешних сил сохраняется и её компонента: задача о сортировке вагонов решается одним уравнением. Тонкость, где теряют баллы: сохранение требует нуля главного вектора внешних сил, а не «малости» сил — тяжесть в задаче о разрыве снаряда за короткое время даёт пренебрежимый импульс, но формально его пишут и отбрасывают с обоснованием. Связь с кинематикой системы — в теореме о движении центра масс, см. теорема о движении центра масс, механический запас — в шпаргалке теормеха.

K = \sum m_{i} v_{i} = M v_{c}, \frac{d K}{d t} = \sum F_{i}^{внеш}, K = const (\sum F^{внеш} = 0)

количество движения через центр масс; теорема об изменении и условие сохранения

Частые вопросы

Чем количество движения системы отличается от импульса силы?

Это величины разной природы: количество движения — состояние системы в момент времени, кг·м/с; импульс силы — мера воздействия за промежуток, тоже кг·м/с, но это интеграл силы по времени. Связывает их теорема: изменение количества движения системы равно суммарному импульсу внешних сил. В задачах о ударе импульс силы неизвестен напрямую, зато известны скорости до и после — из их разности и находят среднюю ударную силу, деля импульс на длительность контакта.

Почему внутренние силы не меняют импульс системы?

По третьему закону Ньютона внутренние силы попарны: силы действия и противодействия равны по модулю, противоположны и приложены к разным точкам системы. В сумме по всем точкам каждая пара даёт ноль — и не только в сумме сил, но и во времени: какие бы усилия ни развивали части системы друг против друга, суммарный вектор $\sum m_{i} v_{i}$ дрогнет только от внешнего толчка. Отсюда и эквивалентная формулировка через центр масс: система не может сдвинуть свой центр масс без внешней опоры — кошка в невесомости не перевернётся, лишь извиваясь вокруг центра масс.