📈 Матанализ

Гармоническое колебание

Q: Чем ω отличается от ν?

Единицами и смыслом: $\nu$ — полных колебаний в секунду (герцы), $\omega$ — радиан в секунду, то есть «скорость вращения фазы». Связь $\omega = 2\pi\nu$: один цикл — это $2\pi$ радиан фазы. В формулах физики работает $\omega$, в характеристиках приборов — $\nu$; путаница между ними стоит множителя $6{,}28$.

Q: Почему сумма гармоник одной частоты — гармоника?

Развёрните обе через формулы суммы: $\sin(\omega t)\cos\varphi + \cos(\omega t)\sin\varphi$ — коэффициенты при $\sin\omega t$ и $\cos\omega t$ собираются в пару $(a + R\cos\varphi, b + R\sin\varphi)$, которая снова сворачивается в $R'\sin(\omega t + \varphi')$. Частота не меняется — меняются амплитуда и фаза. Это линейность операции сложения.

англ. Harmonic oscillation

Процесс вида y = A·sin(ωt + φ): амплитуда A, циклическая частота ω, начальная фаза φ; сумма двух колебаний одной частоты — снова гармоника.

Гармоническое колебание — процесс $y = A sin (ω t + φ)$ , где $A$ — амплитуда, $ω$ — циклическая частота (радиан в секунду), $φ$ — начальная фаза. Период $T = \frac{2 π}{ω}$ , частота $ν = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π}$ . Примеры с числами: розетка $50$ Гц даёт $ω = 2 π \cdot 50 \approx 314$ рад/с; маятник длиной $1$ м качается с $T = 2 π \frac{l}{g} \approx 2$ с. График — синусоида с растяжениями и сдвигом.

Ключевая теорема: сумма двух гармоник одной частоты — снова гармоника той же частоты: $a sin ω t + b cos ω t = R sin (ω t + φ)$ с $R = a^{2} + b^{2}$ — это и есть метод вспомогательного угла. Колебания разных частот дают биения и сложные формы — оттуда растёт ряд Фурье: любой периодический сигнал раскладывается в сумму гармоник. Уравнение колебания с затуханием добавляет множитель $e^{- γ t}$ — показательная функция из темы показательных уравнений: время затухания ищется логарифмом.

y = A sin (ω t + φ); T = \frac{2 π}{ω}, ν = \frac{ω}{2 π}; a sin ω t + b cos ω t = R sin (ω t + φ)

запись колебания, его период и свёртка суммы гармоник

Частые вопросы

Чем ω отличается от ν?

Единицами и смыслом: $ν$ — полных колебаний в секунду (герцы), $ω$ — радиан в секунду, то есть «скорость вращения фазы». Связь $ω = 2 π ν$ : один цикл — это $2 π$ радиан фазы. В формулах физики работает $ω$ , в характеристиках приборов — $ν$ ; путаница между ними стоит множителя $6, 28$ .

Почему сумма гармоник одной частоты — гармоника?

Развёрните обе через формулы суммы: $sin (ω t) cos φ + cos (ω t) sin φ$ — коэффициенты при $sin ω t$ и $cos ω t$ собираются в пару $(a + R cos φ, b + R sin φ)$ , которая снова сворачивается в $R^{'} sin (ω t + φ^{'})$ . Частота не меняется — меняются амплитуда и фаза. Это линейность операции сложения.