📈 Матанализ

Чётность и нечётность функции

Q: Почему у нечётной функции f(0) = 0?

Подставьте ноль в определение: $f(-0) = -f(0)$, а $-0$ это тот же ноль, значит $f(0) = -f(0)$, откуда $2f(0) = 0$. Работает, только если ноль входит в область определения: у $\operatorname{tg} x$ ноль не входит — и правило применять не к чему. Геометрически график нечётной функции обязан проходить через начало координат.

Q: Может ли функция быть одновременно чётной и нечётной?

Да, ровно одна: тождественный ноль. Из $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ следует $f(x) = -f(x)$, то есть $f(x) = 0$ всюду. Любая другая функция проваливает хотя бы одно из условий — это популярный вопрос-ловушка на контрольных.

англ. Even and odd functions

Чётная функция симметрична: f(−x) = f(x) — график зеркален оси y; нечётная: f(−x) = −f(x) — симметрична относительно начала координат.

Функция чётна, если $f (- x) = f (x)$ : значение на минус иксе равно значению на плюсе. График зеркален относительно оси ординат — парабола $y = x^{2}$ , косинус, модуль. Функция нечётна, если $f (- x) = - f (x)$ : график симметричен относительно начала координат и поворотом на $180°$ переходит в себя — прямая $y = x$ , кубическая парабола, синус, тангенс. Проверка всегда одна: подставьте $- x$ и упростите; например, $f (x) = x^{3} - x$ даёт $f (- x) = - x^{3} + x = - f (x)$ — нечётна.

Большинство функций не чётные и не нечётные — например, $y = x + 1$ : слагаемое $x$ нечётно, единица чётна, сумма не симметрична. Полезные факты: произведение двух чётных или двух нечётных функций чётно, произведение чётной на нечётную нечётно; у нечётной функции на симметричной области определения $f (0) = 0$ . Чётность экономит исследование: достаточно построить график на половине оси. В тригонометрии чётность объясняет формы серий корней: $arcsin (- a) = - arcsin a$ у арксинуса, но $arccos (- a) = π - arccos a$ — см. арккосинус.

чётная : f (- x) = f (x); нечётная : f (- x) = - f (x); (x^{2} cos x) чётна, (x^{2} sin x) нечётна

определения и правило умножения: одинаковая чётность даёт чётное произведение

Частые вопросы

Почему у нечётной функции f(0) = 0?

Подставьте ноль в определение: $f (- 0) = - f (0)$ , а $- 0$ это тот же ноль, значит $f (0) = - f (0)$ , откуда $2 f (0) = 0$ . Работает, только если ноль входит в область определения: у $tg x$ ноль не входит — и правило применять не к чему. Геометрически график нечётной функции обязан проходить через начало координат.

Может ли функция быть одновременно чётной и нечётной?

Да, ровно одна: тождественный ноль. Из $f (- x) = f (x)$ и $f (- x) = - f (x)$ следует $f (x) = - f (x)$ , то есть $f (x) = 0$ всюду. Любая другая функция проваливает хотя бы одно из условий — это популярный вопрос-ловушка на контрольных.