Знакопостоянство функции
англ. Sign constancy
Свойство непрерывной функции сохранять знак на промежутке без нулей: достаточно проверить одну точку интервала.
Знакопостоянство — свойство функции не менять знак на промежутке, где у неё нет нулей и точек разрыва. Непрерывная функция переходит из плюса в минус только через ноль, поэтому нули делят ось на интервалы постоянного знака. Проверив одну пробную точку интервала, узнаёте знак всего интервала — в этом вся экономия метода интервалов.
Промежутки знакопостоянства — ответ на вопрос «где функция положительна и где отрицательна», а это и есть решение неравенств и . Для параболы картина читается с графика, для произведения множителей — по кратности нулей, как в методе интервалов.
Частые вопросы
Почему функция обязана пройти через ноль, меняя знак?
По непрерывности: переход из минус единицы в плюс единицу без скачка невозможен, где-то по пути значение равно нулю. У разрывной функции правило ломается — например, меняет знак в нуле, не имея там значения. Поэтому нули знаменателя учитываются в методе интервалов наравне с нулями числителя.
Сколько точек нужно проверить на интервале?
Ровно одну. Знак на всём интервале одинаков, поэтому любая пробная точка даёт ответ. Проверка двух точек — трата времени, проверка нуля точек — риск: без пробы знак ставится только по графику или по кратности нулей.