📈 Матанализ

Выколотая точка

Q: Может ли выколотая точка быть внутри ответа?

Да: при касании параболы $(x-2)^2 > 0$ ответ — вся прямая, кроме двойки: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Точка выколота посреди двух объединённых лучей, и забыть её здесь проще всего.

англ. Excluded point

Точка числовой прямой, не входящая в множество решений: рисуется пустым кружком, в записи ответа даёт круглую скобку.

Выколотая точка — граничная точка промежутка, которая в решение не входит. На рисунке она изображается пустым кружком, в ответе — круглой скобкой: $(2; + \infty)$ означает «икс больше двух, само число два не подходит». Противоположность — закрашенная точка и квадратная скобка у нестрогого знака.

Точка выкалывается по двум причинам. Первая — строгий знак: в корне трёхчлена ноль, а ноль требованию «строго больше» не отвечает. Вторая — запрет деления на ноль: нули знаменателя дробно-рационального неравенства выколоты всегда, каким бы ни был знак. Решатель неравенств рисует обе ситуации на числовой прямой, поэтому тип точки видно сразу.

(2; + \infty) : x = 2 \in /; [2; + \infty) : x = 2 \in; \frac{1}{x - 1} > 0 : x = 1 выколота

три картинки выколотой точки

Частые вопросы

Чем опасно забыть выколоть точку?

Множество расширится на одну точку, но на проверке это ошибка: при строгом знаке ответ считается неверным. Стоит привычка: после записи ответа подставьте граничную точку и спросите себя, разрешает ли её знак неравенства.

Может ли выколотая точка быть внутри ответа?

Да: при касании параболы $(x - 2)^{2} > 0$ ответ — вся прямая, кроме двойки: $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ . Точка выколота посреди двух объединённых лучей, и забыть её здесь проще всего.

пошагово

Увидеть выколотые точки на числовой прямой

Решатель рисует пустые и закрашенные кружки на оси: строгий знак и запрет нуля знаменателя видны на картинке.

Открыть решатель