⚛️ Квантовая физика

Волна де Бройля

англ. de Broglie wave

Гипотеза де Бройля: каждой движущейся частице с импульсом p сопоставлена волна длиной λ = h/p; для электрона после 100 В — 0,123 нм, для пули — необозримо мало.

В 1924 году де Бройль задал вопрос, от которого все отмахнулись бы, если бы не его смелость: если световая волна несёт импульс $p = h / λ$ , почему частица не должна нести волну? Волна де Бройля — волновой аспект материи с длиной $λ = h / p$ ; для релятивистских скоростей та же формула через энергию. Симметрия красивая: фотон и электрон равно двуличны. Проверка пришла быстро: пучок электронов, отражённый от никеля (опыт Дэвиссона — Джермера, 1927), дал дифракционные максимумы ровно по формуле де Бройля — электрон проявил интерференцию, как свет на решётке. Сегодня это работает в электронных микроскопах: волна электрона в тысячи раз короче световой, потому и разрешение несравнимо лучше. Квантовая дуальность — в уроке двойная природа частиц.

Считаем: электрон, ускоренный напряжением $U = 100$ В, приобретает импульс $p = 2 m e U$ , и $λ = h / p \approx 0, 123$ нм — размер атомной решётки, поэтому кристаллы для электронов — готовая дифракционная решётка. А теперь пуля массой $10$ г со скоростью $500$ м/с: $λ \approx 1, 3 \cdot 1 0^{- 34}$ м — в $1 0^{19}$ раз меньше протона, ни один опыт в принципе не различит такую волну. Квантовые эффекты не запрещены для пули — они просто недостижимы по масштабу; граница между мирами не в списке частиц, а в соотношении длины волны и масштаба прибора. Следующий шаг формализма — уравнение Шрёдингера, см. уравнение Шрёдингера, предел точности — в соотношении неопределённостей.

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}, λ_{эл} \approx \frac{1 , 23}{U [ В ]} нм

длина волны де Бройля; быстрая формула для электрона, ускоренного напряжением U в вольтах

Частые вопросы

Почему дифракцию электронов видно только на кристаллах?

Для заметной дифракции период структуры должен быть порядка длины волны. Электрон при $100$ В имеет $λ \approx 0, 12$ нм — именно межплоскостные расстояния в кристалле. Искусственных решёток с такими штрихами тогда не умели, поэтому кристалл никеля оказался и целью, и инструментом: «решётка» с шагом $0, 09$ нм дала максимумы, предсказанные де Бройлём. Для макротел длина волны исчезающе мала относительно любых структур — дифракция пули требует «решётки» размером меньше атомного ядра.

Как длина волны де Бройля связана с разрешением электронного микроскопа?

Разрешение оптики любого типа ограничено порядком длины волны: детали мельче ~ $λ /2$ различить нельзя. Свет даёт $400$ – $700$ нм — предел оптического микроскопа около $200$ нм. Электрон при $U = 100$ кВ имеет $λ \approx 0, 004$ нм — на пять порядков меньше, поэтому даже с неидеальной оптикой электронные микроскопы видят атомные ряды. Дополнительный бонус — управление длиной волны напряжением: поднял ускоряющее напряжение — укоротил волну и улучшил разрешение.