⚛️ Квантовая физика

Соотношение неопределённостей

Q: Как оценить минимальную скорость дрожания электрона в атоме?

Посадите электрон в область $\Delta x \sim 10^{-10}$ м и потребуйте $\Delta p \ge \hbar/(2\Delta x) \approx 5{,}3 \cdot 10^{-25}$ кг·м/с. Деление на массу электрона даёт $\Delta v \sim 6 \cdot 10^5$ м/с — сотни километров в секунду дрожания, которые нельзя «убрать» никаким охлаждением. Именно это дрожание держит атом от коллапса: выиграть у притяжения к ядру можно только расширившись, и равновесие устанавливается на ангстремах.

англ. Uncertainty principle

Принцип Гейзенберга: произведение неопределённостей координаты и импульса не меньше ħ/2 — принципиальный предел точности природы, а не слабость приборов.

Классическая механика позволяет знать всё сразу: и где частица, и как быстро она летит. Квантовый мир ставит бюджет: соотношение неопределённостей Гейзенберга $Δ x \cdot Δ p \geq ℏ/2$ — произведение разбросов координаты и импульса не может быть сколь угодно малым; $ℏ = 1, 05 \cdot 1 0^{- 34}$ Дж·с. Это не техника измерения: сама волна не может быть одновременно узкой в пространстве и узкой по волновому числу — сжатие в точку размазывает спектр импульсов, и наоборот. Пара «энергия–время» живёт по тому же правилу: $Δ E \cdot Δ t \geq ℏ/2$ , отсюда естественная ширина спектральных линий. Родной урок — принцип неопределённости.

Оценка, объясняющая размер атома: зажмём электрон в область $Δ x = 1 0^{- 10}$ м (типичный атом) — разброс импульса не меньше $Δ p \approx ℏ/ (2Δ x) \approx 5 \cdot 1 0^{- 25}$ кг·м/с, а значит, и энергия порядка $Δ p^{2} /2 m \approx 1$ эВ. Сжимать сильнее — энергия дрожания растёт как $1/Δ x^{2}$ , и атом «раздувается» обратно: размер атомов — компромисс между притяжением к ядру и неопределённостью. Для макротела масштаб смешной: пылинка массой $1 0^{- 9}$ кг с координатой до $1 0^{- 6}$ м даёт $Δ v \sim 1 0^{- 20}$ м/с — неопределённость меньше любого наблюдаемого эффекта, поэтому классика жива. Связь с волновой природой — в волне де Бройля, полный формализм — в уравнении Шрёдингера.

Δ x \cdot Δ p \geq \frac{ℏ}{2}, Δ E \cdot Δ t \geq \frac{ℏ}{2}, ℏ = \frac{h}{2 π}

пары «координата–импульс» и «энергия–время»; ħ — постоянная Планка с чертой

Частые вопросы

Соотношение неопределённостей — это проблема измерительных приборов?

Нет, это свойство самой материи: частица, описываемая волной, принципиально не имеет одновременно точной координаты и точного импульса — этих двух чисел у неё просто нет одновременно. Идеальный прибор лишь выявляет размазанность, а не создаёт её. Довод в пользу этого — дифракция: траектория через щель «выясняется» тем хуже, чем уже щель, ровно по формуле Гейзенберга. Поэтому и электрон в атоме — не шарик на орбите, а облако вероятности.

Как оценить минимальную скорость дрожания электрона в атоме?

Посадите электрон в область $Δ x \sim 1 0^{- 10}$ м и потребуйте $Δ p \geq ℏ/ (2Δ x) \approx 5, 3 \cdot 1 0^{- 25}$ кг·м/с. Деление на массу электрона даёт $Δ v \sim 6 \cdot 1 0^{5}$ м/с — сотни километров в секунду дрожания, которые нельзя «убрать» никаким охлаждением. Именно это дрожание держит атом от коллапса: выиграть у притяжения к ядру можно только расширившись, и равновесие устанавливается на ангстремах.