Тензор
англ. Tensor
Геометрический объект, задаваемый компонентами с определённым законом преобразования при смене базиса: обобщение скаляра (ранг 0), вектора (ранг 1) и матрицы (ранг 2).
Тензор — объект, который живёт в пространстве независимо от координат, а его компоненты при смене базиса пересчитываются по строгому правилу. Лестница обобщений: скаляр (масса, температура) — тензор ранга 0, одинаковый во всех системах; вектор — ранг 1, компоненты преобразуются через матрицу поворота; матрица линейного оператора или билинейной формы — ранг 2; дальше — тензоры с любым числом верхних (контравариантных) и нижних (ковариантных) индексов.
Закон преобразования — определение тензора: каждая пара индексов пересчитывается своей матрицей Якоби. Физика держится на тензорах, потому что законы природы не должны зависеть от координат: тензор инерции вращающегося тела, тензор напряжений и деформаций в сопромате, тензор электромагнитного поля, метрический тензор пространства-времени. Практика: нулевой тензор остаётся нулевым в любом базисе — записанное тензорное равенство верно во всех системах координат сразу, в этом сила обозначений Эйнштейна с суммированием по повторяющимся индексам.
Частые вопросы
Тензор — это всегда матрица?
Нет: матрица — лишь способ записать компоненты тензора ранга 2 в конкретном базисе. Тензоры ранга 3 и выше одной матрицей не изображаются (куб чисел и дальше), а ранг 0 — вообще одно число. Тензор — это правило преобразования, а не размер таблицы.
Что означают верхние и нижние индексы?
Верхние (контравариантные) индексы преобразуются как компоненты вектора — через прямую матрицу перехода; нижние (ковариантные) — как компоненты градиента, через обратную. Метрический тензор поднимает и опускает индексы, связывая два описания одного объекта.