🧮 Линал

Билинейная форма

Q: Чем билинейная форма отличается от квадратичной?

Аргументов два: $A(\mathbf{x}, \mathbf{y})$. Подставив в оба слота один вектор, получаем квадратичную форму $Q(\mathbf{x}) = A(\mathbf{x}, \mathbf{x})$. Для симметричных форм связь обратима по поляризации, поэтому тип формы (знакоопределённость) проверяют на квадратичной — там работает критерий Сильвестра.

англ. Bilinear form

Функция двух векторов, линейная по каждому аргументу: A(x, y) = xᵀAy; матрица формы, симметрия и знакоопределённость — основа теории квадратичных форм.

Билинейная форма — числовая функция двух векторных аргументов $A (x, y)$ , линейная по каждому из них отдельно: $A (α x_{1} + β x_{2}, y) = α A (x_{1}, y) + β A (x_{2}, y)$ и то же по второму слоту. Знакомые примеры: скалярное произведение векторов — симметричная положительно определённая билинейная форма; определитель $det [x, y]$ на плоскости — кососимметричная (меняет знак при перестановке аргументов).

В фиксированном базисе форма записывается матрицей: $A (x, y) = x^{T} A y$ , где $A$ — матрица формы. При смене базиса матрица пересчитывается конгруэнтным преобразованием $A^{'} = C^{T} A C$ , и инварианты такого преобразования — ранг и сигнатура — не зависят от базиса (закон инерции Сильвестра). Диагонализация с помощью критерия Сильвестра отвечает на вопрос о знакоопределённости: положительно определённая форма имеет все угловые миноры положительные. Поляризация связывает форму с квадратичной формой: $A (x, y) = \frac{1}{2} (Q (x + y) - Q (x) - Q (y))$ , поэтому обе теории — одно целое.

A (x, y) = x^{T} A y = i, j \sum a_{ij} x_{i} y_{j}; A^{'} = C^{T} A C при смене базиса; Δ_{1} > 0, Δ_{2} > 0, \dots \Rightarrow A > 0

матрица формы, закон преобразования и критерий Сильвестра

Частые вопросы

Чем билинейная форма отличается от квадратичной?

Аргументов два: $A (x, y)$ . Подставив в оба слота один вектор, получаем квадратичную форму $Q (x) = A (x, x)$ . Для симметричных форм связь обратима по поляризации, поэтому тип формы (знакоопределённость) проверяют на квадратичной — там работает критерий Сильвестра.

Зачем в физике билинейные формы?

Везде, где «умножение» двух объектов даёт число: работы силы, метрика пространства (скалярное произведение задаёт расстояния и углы), форма инерции твёрдого тела. В специальной теории относительности метрика Минковского — несимметричная по знакам билинейная форма, и её сигнатура определяет причинную структуру.