🧮 Линал

Квадрика

Q: Чем однополостный гиперболоид отличается от двуполостного?

Знаком при $z^2$: уравнение $\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} - \tfrac{z^2}{c^2} = 1$ даёт связную «песочные часы» из одной полости, а $-\tfrac{x^2}{a^2} - \tfrac{y^2}{b^2} + \tfrac{z^2}{c^2} = 1$ — две отдельные чаши, верхнюю и нижнюю, между ними пропасть. Сечение плоскостью $z = 0$ у первого — эллипс, у второго — пустое множество.

англ. Quadric surface

Поверхность, задаваемая уравнением второй степени: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, конус и цилиндры.

Квадрика (поверхность второго порядка) — множество точек, задаваемое общим уравнением второй степени $A x^{2} + 2 B x y + 2 C y z + \dots + 2 G x + 2 H y + 2 I z + J = 0$ . Это трёхмерные наследники параболы и эллипса. Полная классификация невелика: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, конус, цилиндры трёх типов и пара вырожденных случаев (точка, пара плоскостей).

Как отличить тип квадрики? Привести уравнение к каноническому виду: выделить полные квадраты (перенос начала) и диагонализовать квадратичную часть — её собственные значения и векторы задают оси и полуоси. Канонические уравнения стоит помнить: $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$ — эллипсоид; $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$ — однополостный гиперболоид; $z = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$ — гиперболический параболоид (седло). Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид — линейчатые поверхности: собраны из прямых линий, поэтому башни Шухова строятся из прямых балок и держат форму кривой поверхности.

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1 (эллипсоид); \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1 (однополостный); z = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} (седло)

три канонические квадрики, которые стоит узнавать в лицо

Частые вопросы

Чем однополостный гиперболоид отличается от двуполостного?

Знаком при $z^{2}$ : уравнение $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$ даёт связную «песочные часы» из одной полости, а $- \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$ — две отдельные чаши, верхнюю и нижнюю, между ними пропасть. Сечение плоскостью $z = 0$ у первого — эллипс, у второго — пустое множество.

Зачем приводить квадрику к каноническому виду?

Канонический вид показывает тип поверхности, её центр, оси и полуоси — всю геометрию за одно уравнение. Алгоритм школьный: выделить полные квадраты, получить сдвиг начала координат; диагонализовать матрицу квадратичной формы, получить поворот осей. Это тот же аппарат, что и для приведения квадратичной формы к главным осям.