📈 Матанализ

Тангенс

англ. Tangent

Отношение синуса к косинусу: tg t = sin t / cos t; определён при cos t ≠ 0, принимает любые значения и имеет период π.

Тангенс — отношение ординаты точки окружности к её абсциссе: $tg t = \frac{s i n t}{c o s t}$ . Определён всюду, кроме точек $\frac{π}{2} + π k$ , где косинус нулевой — там функция рвётся, и вертикальные асимптоты проходят через эти точки. Значения не ограничены: тангенс пробегает все действительные числа на каждом периоде. Опорные значения: $tg 0 = 0$ , $tg \frac{π}{6} = \frac{3}{3}$ , $tg \frac{π}{4} = 1$ , $tg \frac{π}{3} = 3$ .

Период тангенса вдвое короче синусового — $π$ : поворот на пол-оборота меняет знаки числителя и знаменателя одновременно, и отношение не меняется. Функция нечётна и строго возрастает на каждом интервале непрерывности, поэтому арктангенс определён для любого аргумента без барьера. В уравнении $tg x = a$ ровно одна серия: $x = arctg a + π k$ . В физике тангенс — наклон: угол подъёма дороги с уклоном $12%$ равен $arctg (0, 12) \approx 6, 8°$ .

tg t = \frac{sin t}{cos t}; 1 + tg^{2} t = \frac{1}{cos ^{2} t}; tg (t + π) = tg t

определение, следствие основного тождества и короткий период

Частые вопросы

Почему тангенс не определён в π/2?

Потому что в этой точке косинус равен нулю, а деление на ноль не определено. Геометрически луч направлен вертикально вверх, его пересечение с вертикальной касательной к окружности уходит в бесконечность — отсюда и вертикальные асимптоты графика тангенса каждые $π$ радиан.

Почему у тангенса период π, а не 2π?

Потому что при повороте на пол-оборота и ордината, и абсцисса меняют знак: $\frac{- y}{- x} = \frac{y}{x}$ . Отношение не различает точку и её диаметральную противоположность — поэтому достаточно полуоборота. Синус при этом меняет знак, и ему нужен полный оборот.