📈 Матанализ

Степенная функция

Q: Чем степенная функция отличается от показательной?

Положением переменной. В степенной $x^p$ переменная — основание, показатель фиксирован; в показательной $a^x$ наоборот. Растут они по-разному: при больших $x$ экспонента всегда обгоняет степень — $2^x$ перепрыгивает $x^{100}$ после достаточно большого $x$. На маленьких значениях всё наоборот: $x^2$ стартует с нуля медленнее $2^x$.

Q: Почему у корня x^(1/2) вертикальная касательная в нуле?

Производная $\tfrac{1}{2\sqrt{x}}$ при $x \to 0^+$ уходит в бесконечность — наклон касательной неограниченно растёт, и график входит в ноль вертикально. Геометрически это следствие обратной функции: корень — зеркало параболы $y = x^2$ относительно диагонали, и горизонтальная касательная параболы в вершине превращается в вертикальную.

англ. Power function

Функция y = x^p с фиксированным показателем p: парабола при p = 2, корень при p = 1/2, гипербола при p = −1 — вид графика диктует показатель.

Степенная функция $y = x^{p}$ держит фиксированным показатель, а меняется основание — зеркально показательной, где фиксируется основание. Характер графика полностью диктуется показателем: $p = 2$ даёт параболу, $p = \frac{1}{2}$ — ветвь корня $x$ с вертикальной касательной в нуле, $p = - 1$ — гиперболу $\frac{1}{x}$ с асимптотами по осям, $p = 3$ — кубическую параболу с точкой перегиба в нуле. Чётные показатели делают функцию чётной, нечётные — нечётной; дробный $p = \frac{m}{n}$ определён при $x \geq 0$ в зависимости от чётности $n$ .

Практическая ценность — таблица производных: $(x^{p})^{'} = p x^{p - 1}$ работает для любого действительного $p$ , и на ней держится дифференцирование многочленов: $(x^{3} - 4 x + 5)^{'} = 3 x^{2} - 4$ . Сравнение скоростей роста при больших $x$ : между $x^{2}$ и $x^{3}$ проигрывает всегда первая — при $x = 20$ это $400$ против $8000$ ; а показательная функция обгонит любую степень. Производные степенных функций разобраны в уроке производная: определение, свойства степеней — в шпаргалке степеней и корней.

y = x^{p}; (x^{p})^{'} = p x^{p - 1}; x^{- 1} = \frac{1}{x}, x^{1/2} = x

определение; степенное правило дифференцирования; отрицательные и дробные показатели

Частые вопросы

Чем степенная функция отличается от показательной?

Положением переменной. В степенной $x^{p}$ переменная — основание, показатель фиксирован; в показательной $a^{x}$ наоборот. Растут они по-разному: при больших $x$ экспонента всегда обгоняет степень — $2^{x}$ перепрыгивает $x^{100}$ после достаточно большого $x$ . На маленьких значениях всё наоборот: $x^{2}$ стартует с нуля медленнее $2^{x}$ .

Почему у корня x^(1/2) вертикальная касательная в нуле?

Производная $\frac{1}{2 x}$ при $x \to 0^{+}$ уходит в бесконечность — наклон касательной неограниченно растёт, и график входит в ноль вертикально. Геометрически это следствие обратной функции: корень — зеркало параболы $y = x^{2}$ относительно диагонали, и горизонтальная касательная параболы в вершине превращается в вертикальную.