♾️ ТФДП

Слабая сходимость

англ. Weak convergence

Сходимость против всех испытательных векторов: $x_n \rightharpoonup x$, если $\langle x_n, y\rangle \to \langle x, y\rangle$ для каждого $y$; базисные векторы слабо сходятся к нулю, не тая по норме.

Требовать $∥ x_{n} - x ∥ \to 0$ — сильная и дорогая просьба, часто невыполнимая даже там, где последовательность явно движется в правильную сторону. Слабая сходимость ослабляет проверку: $x_{n} ⇀ x$ , если числовая последовательность $⟨ x_{n}, y ⟩$ сходится к $⟨ x, y ⟩$ для каждого испытательного вектора $y$ — проверка идёт не длиной, а всеми линейными измерениями сразу. Сильная сходимость влечёт слабую по неравенству Коши–Буняковского, обратное неверно: ортонормированный базис $e_{1}, e_{2}, \dots$ слабо сходится к нулю — любое измерение $⟨ e_{n}, y ⟩$ тает, ведь ряд квадратов коэффициентов ограничен нормой $y$ , — но нормы всех $e_{n}$ равны единице. Родственные режимы поточечной сходимости функций — в статье сходимость почти всюду.

Живой пример дают гармоники — классика осциллирующих последовательностей. Последовательность $f_{n} (x) = sin n x$ в $L^{2} [0, 2 π]$ не сходится к нулю сильно: $∥ f_{n} ∥^{2} = π$ при любом $n$ , энергия не тает. Но против любой гладкой $g$ интегралы $\int_{0}^{2 π} g (x) sin n x d x$ стремятся к нулю — так работает лемма Римана–Лебега; для $g (x) = x$ они равны $- 2 π / n$ , уже при $n = 10$ это $- 0, 63$ . Значит, $sin n x ⇀ 0$ слабо: осцилляции усредняются против каждой фиксированной линзы, хотя сама волна никуда не исчезает. На этом держится ряд Фурье и его сходимость в среднем квадратичном. Куда слабые пределы входят в предельные теоремы и перестановки предела с интегралом — в уроке предельные теоремы Лебега.

x_{n} ⇀ x ⟺ ⟨ x_{n}, y ⟩ \to ⟨ x, y ⟩ \forall y, \int_{0}^{2 π} x sin n x d x = - \frac{2 π}{n} \to 0

определение слабой сходимости и проверка на гармониках;

sin n x ⇀ 0

L^{2} [0, 2 π]

: интеграл с

g (x) = x

даёт

- 2 π / n

, уже

- 0, 63

при

n = 10

, но норма не тает —

∥ sin n x ∥^{2} = π

при любом

n

Частые вопросы

Чем слабая сходимость отличается от сильной?

Сильная требует таяния нормы разности, слабая — лишь таяния всех числовых измерений $⟨ x_{n}, y ⟩$ ; иерархия односторонняя: сильная влечёт слабую, обратное неверно. Пример — базисные векторы $e_{n}$ : слабо они стремятся к нулю, но $∥ e_{n} ∥ = 1$ навсегда. Слабая сходимость не контролирует массу последовательности, только её видимость против каждой линзы: масса может уходить в осцилляции или на край области. Поэтому выводы из неё аккуратнее и требуют условий вроде ограниченности норм.

Зачем нужна слабая сходимость, если она хуже сильной?

Зато она есть там, где сильной нет, и делает бесконечномерность работоспособной. В гильбертовом пространстве единичный шар слабо компактен: у всякой ограниченной последовательности есть слабо сходящаяся подпоследовательность — именно так доказывают существование минимума в вариационных задачах и методе наименьших квадратов. Слабые пределы устойчивы при предельных переходах, на них держится спектральная теория и численные схемы вроде метода Галёркина: приближения слабо сходятся к решению.