📈 Матанализ

Равномерная сходимость

англ. Uniform convergence

Сходимость, при которой хвост ряда или последовательности функций мал сразу для всех x: sup|Rₙ(x)| → 0; сохраняет непрерывность и законность почленных операций.

Равномерная сходимость — сходимость последовательности или функционального ряда, при которой номер $N$ можно выбрать общим для всех точек $x$ . Формально: $sup_{x} ∣ f (x) - f_{n} (x) ∣ \to 0$ . В поточечной сходимости каждая точка договаривается о своём $N$ — некоторые «упрямо» сходятся всё медленнее, и предельная функция перенимает изъяны членов. Равномерность запрещает такие упрямые точки: график $f_{n}$ целиком, со всеми точками, зажимается в $ε$ -полосу вокруг предела.

Почему это важно: три предельные теоремы верны именно при равномерной сходимости. Предел непрерывных функций непрерывен; ряд можно почленно интегрировать по отрезку; ряд можно почленно дифференцировать при дополнительной сходимости производных. Рабочий инструмент — признак Вейерштрасса: если $∣ u_{n} (x) ∣ \leq M_{n}$ и числовой ряд $\sum M_{n}$ сходится, то ряд $\sum u_{n} (x)$ сходится равномерно. Классический антипример: $f_{n} (x) = x^{n}$ на $[0; 1]$ сходится поточечно к разрывной ступеньке — предел и непрерывность переставлять нельзя, равномерности нет.

\forall ε > 0 \exists N : \forall n > N \forall x \in E : ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ε ⟺ x \in E sup ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ n \to \infty 0

определение через общее N и через супремум

Частые вопросы

Поточечная сходимость влечёт равномерную или нет?

Нет, наоборот: равномерная всегда влечёт поточечную, обратное неверно. Разница — в кванторах: в равномерной сходимости $N$ выбирается до $x$ и годится всем точкам сразу; в поточечной $N$ может зависеть от $x$ . Именно перестановка кванторов меняет силу определения.

Зачем равномерная сходимость при почленном интегрировании?

Она обеспечивает перестановку предела и интеграла: $\int \sum u_{n} = \sum \int u_{n}$ . Без неё интеграл суммы может отличаться от суммы интегралов — тот же пример $x^{n}$ на $[0; 1]$ даёт предельный интеграл $1$ , тогда как интегралы членов стремятся к $1/ (n + 1)$ и в сумме дают другое.