📈 Матанализ

Функциональный ряд

англ. Function series

Ряд, члены которого — функции: ∑uₙ(x); основные вопросы — область и характер сходимости, свойства суммы и законность почленных операций.

Функциональный ряд — «бесконечная сумма» функций: $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ . Подставив конкретное $x$ , получаем числовой ряд: если он сходится, точка входит в область сходимости. Сумма ряда $S (x)$ — предельная функция частичных сумм, и её свойства зависят от того, насколько дружно члены приближаются к ней: при равномерной сходимости сумма наследует непрерывность членов, допускает почленное интегрирование и дифференцирование.

Главные примеры — степенные ряды $\sum a_{n} x^{n}$ с радиусом сходимости (внутри интервала сходимость абсолютная и равномерная на любом компактном отрезке, ряд можно почленно дифференцировать бесконечно) и тригонометрические ряды, разбирающие сигнал на частоты. Типовая задача: найти область сходимости — комбинация признаков Даламбера и Коши даёт интервал, затем проверяются концы. Проверить свой ряд почленно можно в решателе рядов, а систематика признаков собрана на странице признаки сходимости.

n = 1 \sum \infty u_{n} (x) : S (x) = N \to \infty lim n = 1 \sum N u_{n} (x); R = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} для степенного ряда

сумма ряда и радиус сходимости степенного ряда

Частые вопросы

Чем функциональный ряд отличается от числового?

Числовой ряд — одна бесконечная сумма чисел с ответом «число или расходится». Функциональный ряд — целое семейство числовых рядов, по одному на каждую точку $x$ , и ответ — функция, определённая на области сходимости. Отсюда новые вопросы: где ряд сходится и насколько равномерно.

Обязательно ли сумма функционального ряда непрерывна, если члены непрерывны?

Только при равномерной сходимости. При поточечной сумма может «ломаться»: $\sum x^{n}$ из непрерывных геометрических прогрессий даёт разрывную сумму $1/ (1 - x)$ с бесконечным скачком в точке $x = 1$ .