🌐 Матфизика

Преобразование Лапласа

Q: Чем преобразование Лапласа отличается от преобразования Фурье?

Ядро Фурье — чистая осцилляция $e^{-i\omega t}$, ядро Лапласа — затухающая $e^{-pt}$ с комплексным $p$: Фурье — частный случай Лапласа на мнимой оси. Лаплас требует интегрирование от нуля и живёт в полуплоскости сходимости, поэтому удобен для процессов, «включаемых» в момент $t = 0$, и не требует интегрируемости функции по всей прямой.

англ. Laplace transform

Интегральное преобразование F(p) = ∫₀^∞ f(t)e^(−pt)dt, переводящее функцию времени в функцию комплексной переменной p; превращает дифференциальные уравнения в алгебраические.

Преобразование Лапласа ставит функции $f (t)$ в соответствие функцию комплексной переменной $p$ : $F (p) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- pt} d t$ . Множитель $e^{- pt}$ «гасит» рост подынтегральной функции, поэтому преобразование существует для широкого класса сигналов. Оригинал $f (t)$ называют оригиналом, образ $F (p)$ — изображением; переход туда и обратно обозначают $f (t) ≑ F (p)$ .

Сила метода — в свойствах: производная переходит в умножение ( $L {f^{'}} = pF (p) - f (0)$ ), интеграл — в деление, свёртка — в произведение. Задача Коши для линейного дифференциального уравнения с начальными условиями превращается в линейное алгебраическое уравнение для $F (p)$ : решил его, посмотрел изображение в таблице, вернулся к оригиналу. Так решаются уравнения колебаний, переходные процессы в цепях, задачи теплопроводности.

L {f} = F (p) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- pt} d t; L {f^{'}} = pF (p) - f (0); 1 ≑ \frac{1}{p}, e^{a t} ≑ \frac{1}{p - a}, sin ω t ≑ \frac{ω}{p ^{2} + ω ^{2}}

определение, правило дифференцирования и табличные пары

Частые вопросы

Чем преобразование Лапласа отличается от преобразования Фурье?

Ядро Фурье — чистая осцилляция $e^{- iω t}$ , ядро Лапласа — затухающая $e^{- pt}$ с комплексным $p$ : Фурье — частный случай Лапласа на мнимой оси. Лаплас требует интегрирование от нуля и живёт в полуплоскости сходимости, поэтому удобен для процессов, «включаемых» в момент $t = 0$ , и не требует интегрируемости функции по всей прямой.

Зачем нужна комплексная переменная p, если интегрируем по вещественному t?

Комплексность $p$ даёт свободу выбора области сходимости и превращает дифференцирование в умножение на $p$ с правильной аналитической структурой: полюсы изображения $F (p)$ кодируют экспоненты и колебания оригинала. Вещественного $p$ хватило бы для алгебры, но обратное преобразование и устойчивость формулируются честно именно в комплексной плоскости.