📈 Матанализ

Площадь треугольника через синус

Q: Какая формула площади выбрать при трёх известных сторонах?

Формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ с полупериметром $p$. Синусная формула требует угла, которого в этих данных нет; его можно найти теоремой косинусов и подставить — но это два шага вместо одного. Выбирайте формулу по имеющемуся набору данных, а не по привычке.

англ. Triangle area via sine

Площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: S = ½·a·b·sin C; работает для любой пары сторон и их общего угла.

Формула $S = \frac{1}{2} ab sin C$ считает площадь по двум сторонам и углу между ними — без высоты, которую не всегда легко провести. Происхождение: высота к стороне $a$ равна $b sin C$ (противолежащий катет в прямоугольном треугольнике, отрезанном высотой), а площадь — половина основания на высоту. Числовой пример: стороны $6$ и $8$ с углом $30°$ дают $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0, 5 = 12$ ; тот же угол $150°$ дал бы ту же площадь — синус тупого угла положителен и симметричен.

Формула — самый универсальный инструмент площади: она же даёт $S = \frac{1}{2} ab sin γ$ для параллелограмма (без половины), площадь сектора через $\frac{1}{2} r^{2} φ$ в радианах и работу силы $A = F s cos α$ — всюду «произведение на синус угла между». В заданиях формула ценна тогда, когда высота не задана, но есть угол: типовая связка с теоремой косинусов — сначала сторона, потом площадь. Для «трёх сторон» работает формула Герона, для «стороны и высоты» — классическая половина произведения.

S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c a sin B

три равносильные записи — по любой паре сторон и их углу

Частые вопросы

Почему подходит и острый, и тупой угол между сторонами?

Потому что высота, опущенная на продолжение стороны, в тупом случае равна $b sin (180° - C) = b sin C$ : синус смежного угла равен синусу самого угла. Геометрически высота одна и та же — меняется лишь то, куда она падает, внутри основания или на его продолжение.

Какая формула площади выбрать при трёх известных сторонах?

Формулу Герона: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ с полупериметром $p$ . Синусная формула требует угла, которого в этих данных нет; его можно найти теоремой косинусов и подставить — но это два шага вместо одного. Выбирайте формулу по имеющемуся набору данных, а не по привычке.