📈 Матанализ

Неполное квадратное уравнение

Q: Как быстро решить 3x² − 12x = 0?

Вынести $3x$: $3x(x - 4) = 0$, корни ноль и четыре. Полный дискриминант даст те же числа за четыре строки — вынесение делает это в одну. Неполный случай — тренировка структуры, а не обман.

англ. Incomplete quadratic equation

Квадратное уравнение без b или без c: решается вынесением x или извлечением корня быстрее, чем дискриминантом.

Неполное квадратное уравнение пропускает коэффициент: без $c$ — $a x^{2} + b x = 0$ , решается вынесением $x (a x + b) = 0$ с корнями $0$ и $- \frac{b}{a}$ ; без $b$ — $a x^{2} + c = 0$ , решается извлечением корня $x^{2} = - \frac{c}{a}$ : два корня при положительной правой части, один нулевой при $c = 0$ , действительных нет при отрицательной.

Формула дискриминанта решает и эти случаи, но два специальных приёма быстрее и объясняют структуру: вынесение показывает корень ноль, извлечение корня показывает симметрию $\pm$ . В неравенствах те же приёмы дают мгновенную схему знаков: $x^{2} - 9 > 0$ — это $∣ x ∣ > 3$ , то есть два луча, без единого вычисления дискриминанта.

a x^{2} + b x = 0 \Rightarrow x (a x + b) = 0 : x = 0, x = - \frac{b}{a}; a x^{2} = c : x = \pm c / a

два типа неполных уравнений

Частые вопросы

Почему у x² = −4 нет действительных корней?

Потому что квадрат действительного числа неотрицателен: никакое $x$ не даёт минус четыре. Комплексные корни $\pm 2 i$ появляются в теории комплексных чисел; в школьном ответе пишется «действительных корней нет».

Как быстро решить 3x² − 12x = 0?

Вынести $3 x$ : $3 x (x - 4) = 0$ , корни ноль и четыре. Полный дискриминант даст те же числа за четыре строки — вынесение делает это в одну. Неполный случай — тренировка структуры, а не обман.