📈 Матанализ

Неравенства высших степеней

англ. Higher-degree inequalities

Неравенства с многочленами степени 3 и выше: разложение на множители + метод интервалов с учётом кратности корней.

Неравенства высших степеней — неравенства с многочленами третьей и выше степени: $x^{3} - 4 x \geq 0$ . Общего решения через формулу нет (формулы Кардано слишком тяжёлые), но метод интервалов справляется: разложить на множители ( $x (x - 2) (x + 2)$ ), отметить нули с кратностями, расставить знаки от крайней правой пробы.

Знак старшего коэффициента даёт знак на крайнем правом интервале: положительный — плюс. Дальше чередование с учётом кратности: нечётная кратность меняет знак, чётная сохраняет. Для $x (x - 2) (x + 2) \geq 0$ ответ: $[- 2; 0] \cup [2; + \infty)$ . Проверить свой многочлен можно в решателе неравенств по частям: корни квадратных множителей считает решатель квадратных уравнений.

P (x) = a \prod (x - x_{i})^{k_{i}} \Rightarrow знак определяется чередованием по кратностям

схема знаков через разложение

Частые вопросы

Что делать, если многочлен не раскладывается?

Ищите рациональные корни подбором среди делителей свободного члена, применяйте группировку, выделение полного квадрата. Если корней нет вовсе — знак многочлена постоянен (как у $x^{2} + 1$ ), и неравенство решается одним взглядом на старший коэффициент.

Как кратность влияет на ответ?

На включение корня — никак (решает строгость знака), на схему знаков — напрямую: чётная кратность не меняет знак, и соседние интервалы имеют одинаковый знак. Ошибка в кратности меняет половину ответа, поэтому кратности выписываются отдельно.