🌊 Диффуры

Метод неопределённых коэффициентов

Q: Что делать с суммой правых частей разных пород?

Дробить: для $f = e^{x} + \sin x$ уравнение решается двумя частными решениями — $y^{*}_1$ под экспоненту и $y^{*}_2$ под синус, а сумма $y^{*} = y^{*}_1 + y^{*}_2$ даёт нужное частное. Это следствие линейности: оператор суммы равен сумме операторов. Каждое слагаемое обрабатывается по своей таблице и со своим резонансом — они независимы. Именно так решаются задачи с комбинированным воздействием: постоянная сила плюс периодическая, ступенька плюс затухающий толчок.

англ. Method of undetermined coefficients

Подбор частного решения неоднородного линейного ДУ по табличным формам правой части: многочлен, экспонента, синус с косинусом и их произведения.

Гардероб с готовыми костюмами: какова правая часть уравнения — такой фасон частного решения и надеваем. Метод неопределённых коэффициентов работает для правых частей специального вида — многочленов, экспонент $e^{α x}$ , синусов с косинусами и их произведений: все они при дифференцировании не меняют породу, только коэффициенты. Частное решение ищется в той же породе с неизвестными $A, B, \dots$ , подстановка в уравнение даёт линейную систему на них. Метод дешевле общего варианта — метода вариации произвольной постоянной, но требует табличной правой части: для $tan x$ или $ln x$ он бессилен.

Правило резонанса — сердце метода. Если предлагаемый вид совпадает с решением однородного уравнения, подстановка обнуляет левую часть и система вырождается; тогда фасон умножается на $x$ (и снова на $x$ , если и это совпадает). Пример: $y^{''} - y = e^{x}$ . Однородное имеет корни $\pm 1$ , вид $A e^{x}$ — резонанс кратности 1, берём $y^{*} = A x e^{x}$ . Подстановка: $y^{*'} = A (x + 1) e^{x}$ , $y^{*''} = A (x + 2) e^{x}$ , разность $y^{*''} - y^{*} = 2 A e^{x} = e^{x}$ , откуда $A = \frac{1}{2}$ . Ответ: $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} + \frac{x}{2} e^{x}$ . Заметьте, как множитель $x$ спасает ровно один раз: для правой части $e^{2 x}$ того же уравнения резонанса нет, и обычный $A e^{2 x}$ даёт $A = \frac{1}{3}$ мгновенно. Полная таблица форм и разбор резонансов — в уроке линейные неоднородные ДУ.

f (x) = P_{n} (x) e^{α x} cos β x ⟹ y^{*} = x^{s} Q_{n} (x) e^{α x} (A cos β x + B sin β x),

s

— кратность резонанса (

α + i β

совпадает с корнем характеристического уравнения

s

раз); степени многочленов берутся по

P_{n}

, а не по факту совпадения

Частые вопросы

Почему резонансный вид умножается именно на x?

Потому что при подстановке резонансного слагаемого левая часть оператора от него равна нулю — как и от однородных решений. Умножение на $x$ меняет «частоту»: производные от $x e^{α x}$ порождают слагаемые с $e^{α x}$ без множителя $x$ , которые уже не гасятся полностью. Если кратность резонанса $s$ , нужно $x^{s}$ : например, для $y^{''} - 2 y^{'} + y = e^{x}$ корень $1$ двойной, и частное решение ищется как $A x^{2} e^{x}$ . Кратность определяется числом совпадений вида правой части с корнями характеристического уравнения.

Что делать с суммой правых частей разных пород?

Дробить: для $f = e^{x} + sin x$ уравнение решается двумя частными решениями — $y_{1}^{*}$ под экспоненту и $y_{2}^{*}$ под синус, а сумма $y^{*} = y_{1}^{*} + y_{2}^{*}$ даёт нужное частное. Это следствие линейности: оператор суммы равен сумме операторов. Каждое слагаемое обрабатывается по своей таблице и со своим резонансом — они независимы. Именно так решаются задачи с комбинированным воздействием: постоянная сила плюс периодическая, ступенька плюс затухающий толчок.