🌊 Диффуры

Линейное неоднородное ДУ второго порядка

Q: Почему работает принцип суперпозиции?

Из-за линейности оператора $L[y] = y'' + py' + qy$: он скользит под знаком производной и сложения, $L[\bar{y} + y^{*}] = L[\bar{y}] + L[y^{*}] = 0 + f = f$. Каждая часть отвечает за своё: однородная гасит левую часть, частное обеспечивает правую. Именно поэтому две частных решения отличаются на однородное: их разность $L[y^{*}_1 - y^{*}_2] = f - f = 0$ удовлетворяет однородному уравнению. Для нелинейных уравнений вся конструкция рушится — там нет ни суперпозиции, ни структуры «общее + частное».

англ. Nonhomogeneous second-order linear ODE

Уравнение y″ + py′ + qy = f(x): общее решение = общее решение однородного + одно частное неоднородного, по принципу суперпозиции.

Раскачивание качелей толчками: собственные колебания задаёт сама конструкция, а внешняя сила добавляет свой рисунок движения. Уравнение $y^{''} + p y^{'} + q y = f (x)$ — линейное неоднородное ДУ второго порядка: слева линейная комбинация $y, y^{'}, y^{''}$ с коэффициентами-числами, справа — свободный член $f (x)$ . Структура ответа описывается теоремой о структуре решения: $y = \overset{y}{ˉ} + y^{*}$ , где $\overset{y}{ˉ}$ — общее решение однородного ( $f \equiv 0$ , находится через характеристическое уравнение), а $y^{*}$ — любое одно частное решение неоднородного. Две разные $y^{*}$ отличаются на решение однородного — поэтому годится любая, даже найденная с калькулятором.

Разбор на числах: $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{3 x}$ . Однородное: корни $k^{2} - 3 k + 2 = 0$ равны $1$ и $2$ , значит $\overset{y}{ˉ} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$ . Частное ищем в виде $y^{*} = A e^{3 x}$ (резонанса нет — $3$ не корень): подстановка даёт $9 A - 9 A + 2 A = 2 A = 1$ , откуда $A = \frac{1}{2}$ . Ответ: $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{3 x}$ . Проверка: $y^{*''} - 3 y^{*'} + 2 y^{*} = \frac{9}{2} e^{3 x} - \frac{9}{2} e^{3 x} + e^{3 x} = e^{3 x}$ — верно. Если же правая часть «дружит» с корнями характеристического уравнения, простой вид тянет за собой резонанс и множитель $x^{n}$ — это тема урока линейные неоднородные ДУ; универсальный запасной план — метод вариации, описанный в термине метод вариации произвольной постоянной.

y^{''} + p y^{'} + q y = f (x) ⟹ y = однородное C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + частное y^{*} (x)

принцип суперпозиции: общее решение неоднородного = общее однородного плюс частное неоднородного; две

y^{*}

отличаются слагаемым из

\overset{y}{ˉ}

Частые вопросы

Почему работает принцип суперпозиции?

Из-за линейности оператора $L [y] = y^{''} + p y^{'} + q y$ : он скользит под знаком производной и сложения, $L [\overset{y}{ˉ} + y^{*}] = L [\overset{y}{ˉ}] + L [y^{*}] = 0 + f = f$ . Каждая часть отвечает за своё: однородная гасит левую часть, частное обеспечивает правую. Именно поэтому две частных решения отличаются на однородное: их разность $L [y_{1}^{*} - y_{2}^{*}] = f - f = 0$ удовлетворяет однородному уравнению. Для нелинейных уравнений вся конструкция рушится — там нет ни суперпозиции, ни структуры «общее + частное».

Как начальные условия распределяются между частями решения?

Никак не распределяются — они ставятся к итоговой сумме. Сначала собирается $y = \overset{y}{ˉ} + y^{*}$ , и лишь затем константы $C_{1}, C_{2}$ подгоняются под $y (x_{0}) = y_{0}$ , $y^{'} (x_{0}) = y_{0}^{'}$ : получается система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Частое заблуждение — «частное решение должно удовлетворять начальным условиям»: нет, $y^{*}$ выбирается из удобства (вид правой части), а вся гибкость сидит в константах однородной части, которых ровно две — по порядку уравнения.