📈 Матанализ

Кратный корень

Q: Почему чётная кратность не меняет знак?

Потому что $(x - x_0)^{2m} \ge 0$ при любом $x$: чётная степень неотрицательна. Скобка не может стать отрицательной, значит, знак всей функции при переходе через точку определяется остальными множителями и сохраняется.

англ. Multiple root

Корень, повторяющийся несколько раз: чётная кратность сохраняет знак функции, нечётная — меняет.

Кратный корень — нуль функции, повторяющийся в разложении несколько раз: $(x - 2)^{2}$ даёт корень два кратности два. Влияние на знаки определяет кратность: нечётная — знак при переходе через корень меняется, чётная — сохраняется. У касающейся параболы $(x - x_{0})^{2}$ кратность двойная, поэтому знак с обеих сторон одинаков.

В методе интервалов кратность — единственное, что нужно смотреть, чтобы расставить знаки без пробы: чётная кратность рисует «касание, не пересечение». Проверка кратности без разложения — по производной: если $f (x_{0}) = 0$ и $f^{'} (x_{0}) = 0$ , кратность не меньше двух.

(x - x_{0})^{k} : k нечётная \Rightarrow знак меняется; k чётная \Rightarrow знак сохраняется

правило кратности

Частые вопросы

Почему чётная кратность не меняет знак?

Потому что $(x - x_{0})^{2 m} \geq 0$ при любом $x$ : чётная степень неотрицательна. Скобка не может стать отрицательной, значит, знак всей функции при переходе через точку определяется остальными множителями и сохраняется.

Что кратность даёт при записи ответа?

Границу в ответе корень даёт по строгости знака, как обычный нуль, но знак соседних интервалов теперь известен: он одинаков с обеих сторон. Это спасает от ошибки «поставил знак через один» — самой частой в методе интервалов.