🌊 Диффуры

Комплексные корни характеристического уравнения

англ. Complex roots of the characteristic equation

Пара α ± βi даёт вещественные решения e^{αx}cos βx и e^{αx}sin βx: колебания с экспоненциальной огибающей — базовый словарь теории колебаний.

Когда дискриминант характеристического уравнения отрицателен, корни приходят парой $λ = α \pm β i$ , и на первый взгляд решения получаются комплексными. Спасает структура: если $u + i v$ — решение линейного однородного уравнения с вещественными коэффициентами, то и его вещественная, и мнимая части — тоже решения. По формуле Эйлера $e^{(α + β i) x} = e^{α x} (cos β x + i sin β x)$ , и пара корней разворачивается в два вещественных решения: $e^{α x} cos β x$ и $e^{α x} sin β x$ . Теория характеристического уравнения — в термине характеристическое уравнение и уроке линейные однородные ДУ.

Физический словарь тут прямо-таки готовый: $α$ — показатель затухания или раскачки, $β$ — циклическая частота. Чисто мнимые корни $\pm β i$ дают незатухающие колебания $C_{1} cos β x + C_{2} sin β x$ — идеальный маятник без трения. Корни с $α < 0$ — затухающие колебания с огибающей $e^{α x}$ ; при $α > 0$ система неустойчива, и мнимая пара говорит о нарастающих осцилляциях. Резонанс и его связь с корнями — в терминах резонанс в ДУ, практические выводы — в уроке устойчивость решений.

λ_{1, 2} = α \pm β i \Rightarrow y = e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)

комплексная пара корней всегда даёт вещественные колебания: экспонента задаёт огибающую, синус и косинус — заполнение

Частые вопросы

Почему решения вещественные, если корни комплексные?

Уравнение имеет вещественные коэффициенты, поэтому комплексные решения приходят сопряжёнными парами, и их суммы с коэффициентами $C_{1} \pm i C_{2}$ при вещественных постоянных дают вещественные комбинации. Прямой механизм — разложение Эйлера: комплексная экспонента распадается на вещественную и мнимую части, каждая из которых сама является решением. Итог: вместо комплексного решения $e^{(α + β i) x}$ берём пару $e^{α x} cos β x$ , $e^{α x} sin β x$ — и никогда не теряем вещественность.

Что означают чисто мнимые корни ±βi?

Гармонические колебания с постоянной амплитудой: решение $C_{1} cos β x + C_{2} sin β x$ ни растёт, ни затухает — энергия сохраняется. Это граница между устойчивостью и неустойчивостью: добавьте положительное трение — корни уйдут в левую полуплоскость, амплитуда станет затухать; уберите — уйдут вправо, и начнётся раскачка. Именно поэтому в технике следят за положением корней: мнимая ось — красная линия безопасности.

пошагово

Решатель квадратных уравнений

Получить комплексные корни из D < 0

Отрицательный дискриминант не тупик: решатель выпишет комплексно-сопряжённые корни в нужной форме.

Открыть решатель