📈 Матанализ

Иррациональное уравнение

Q: Чем кубический корень лучше квадратного в уравнениях?

Нечётная степень сохраняет знак: $\sqrt[3]{-8} = -2$, функция строго возрастает и обратима на всей прямой. Возведение в куб равносильно — посторонних корней не появляется, ОДЗ не сужается. Единственная плата — кубические многочлены в правой части могут оказаться сложнее квадратных, поэтому приём выбирают по балансу сложности.

англ. Irrational equation

Уравнение с неизвестным под корнем; решается возведением в степень с обязательной проверкой корней — возведение в чётную степень добавляет посторонние.

Иррациональное уравнение содержит неизвестное под корнем: $x + 3 = x - 3$ . Стандартный путь — избавиться от корня возведением обеих частей в степень корня. Чётная степень (квадрат) — неравносильное преобразование: она добавляет кандидатов с обратным знаком, поэтому после решения обязательна проверка подстановкой или ОДЗ. В примере возведение даёт $x + 3 = (x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$ , квадратное уравнение $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ , кандидаты $6$ и $1$ ; проверка: $9 = 3 = 6 - 3$ — подходит; $4 = 2 \neq = 1 - 3 = - 2$ — посторонний. Ответ: $x = 6$ .

ОДЗ — ранний фильтр: подкоренное выражение неотрицательно, а правая часть у уравнения с корнем обязана быть неотрицательной — ведь корень арифметический. В примере условие $x - 3 \geq 0$ , то есть $x \geq 3$ , сразу отсекает кандидата-минусовку ещё до проверки. Нечётные степени (кубический корень) безопасны — знак сохраняется, проверка не обязательна, но аргумент может быть любым. Альтернатива возведению — замена $t = f (x) \geq 0$ с барьером, если корней несколько: приём из метода замены переменной. Проверка кандидатов — та же дисциплина, что в постороннем корне.

f = g ⟺ {f = g^{2} g \geq 0; x + 3 = x - 3 \Rightarrow x = 6

равносильная замена с условием неотрицательности правой части

Частые вопросы

Зачем проверять корень, если он прошёл ОДЗ?

ОДЗ требует неотрицательности подкоренного выражения и правой части по отдельности, но не гарантирует равенства после возведения: квадрат стирает знак рассогласования. Кандидат $x = 1$ в примере проходит « $x + 3 \geq 0$ », но правая часть минус два отрицательна — и это видно только при проверке или в полном ОДЗ с условием $x \geq 3$ . Проверка подстановкой — финальный контролёр за одну строку.

Чем кубический корень лучше квадратного в уравнениях?

Нечётная степень сохраняет знак: $3 - 8 = - 2$ , функция строго возрастает и обратима на всей прямой. Возведение в куб равносильно — посторонних корней не появляется, ОДЗ не сужается. Единственная плата — кубические многочлены в правой части могут оказаться сложнее квадратных, поэтому приём выбирают по балансу сложности.