📈 Матанализ

Иррациональное неравенство

Q: Почему нельзя просто возвести обе части в квадрат?

Возводить можно только неотрицательные части: функция $t \mapsto t^2$ возрастает на $[0; +\infty)$ и нигде больше. Для отрицательных правых частей порядок квадратов противоположен порядку самих чисел: $-1 > -4$, но $1 < 16$. Поэтому шаблоны и разделены по знаку правой части.

Q: Что делать с корнем чётной степени, стоящим в знаменателе?

Добавить запрет нуля: подкоренное выражение строго больше нуля, а не неотрицательно. Например, для $\tfrac{1}{\sqrt{x - 2}}$ ограничение $x > 2$ строгое. Это тот же принцип, что у нулей знаменателя в дробных неравенствах.

англ. Irrational inequality

Неравенство с корнем из переменной: возводится в квадрат только при неотрицательности обеих частей, с системой-ограничением.

Иррациональное неравенство содержит корень из выражения с переменной: $f (x) > g (x)$ . Возведение в квадрат законно не всегда: обе части обязаны быть неотрицательны, иначе возводится знак, а не число. Отсюда два базовых шаблона: $f \geq g$ равносильно системе $f \geq g^{2}$ , $g \geq 0$ ; а $f > g$ при $g < 0$ истинно всякий раз, когда $f \geq 0$ — корень неотрицателен, значит, больше любого отрицательного.

Отдельное ограничение — подкоренное выражение: $f \geq 0$ . Итого решение собирается из систем неравенств по знаку правой части, а внутри каждой системы — обычная алгебра. Проверка подстановкой граничных точек здесь обязательна: потерянная система — самая частая ошибка темы. В вузовском продолжении те же идеи работают для корней любой степени с учётом чётности.

f \geq g \Leftrightarrow {f \geq g^{2} g \geq 0; f > g, g < 0 \Leftrightarrow f \geq 0

два шаблона в зависимости от знака правой части

Частые вопросы

Почему нельзя просто возвести обе части в квадрат?

Возводить можно только неотрицательные части: функция $t \mapsto t^{2}$ возрастает на $[0; + \infty)$ и нигде больше. Для отрицательных правых частей порядок квадратов противоположен порядку самих чисел: $- 1 > - 4$ , но $1 < 16$ . Поэтому шаблоны и разделены по знаку правой части.

Что делать с корнем чётной степени, стоящим в знаменателе?

Добавить запрет нуля: подкоренное выражение строго больше нуля, а не неотрицательно. Например, для $\frac{1}{x - 2}$ ограничение $x > 2$ строгое. Это тот же принцип, что у нулей знаменателя в дробных неравенствах.