Интегрирующий множитель

Уравнение $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ выглядит безобидно, пока не попробуешь решать в лоб: y и y' сидят вместе, и разделить переменные не выходит. Приём, который всё меняет, — интегрирующий множитель: домножаем уравнение на специальную функцию $\mu (x)$, и левая часть внезапно сворачивается в производную произведения $(\mu y{)}^{\prime }$. Остаётся проинтегрировать обе части и поделить на μ. Два движения — и дифференциальное уравнение решено.

Откуда берётся μ. Раскроем производную произведения: $(\mu y{)}^{\prime }=\mu y^{\prime }+{\mu }^{\prime }y$. Хотим, чтобы это совпало с левой частью уравнения, домноженной на μ: $\mu y^{\prime }+\mu Py$. Приравниваем коэффициенты при y: ${\mu }^{\prime }=\mu P$, то есть ${\mu }^{\prime }/\mu =P$ — уравнение на μ, решающееся одним интегрированием: $\mu =e^{\int Pdx}$. Константу интегрирования можно не писать: она лишь умножит μ на постоянное число, которое сократится в обеих частях. Годится любой множитель из семейства — обычно берут самый простой.

Тот же множитель неявно работает в методе вариации постоянной и в подстановке $y=uv$ — три упаковки одного приёма, и ответы всегда совпадут. А вот за пределами линейных уравнений магия гаснет: если в уравнении сидит $y^2$ или $\sin y$, множитель $e^{\int Pdx}$ ничего не свернёт. В общей теории (уравнения в полных дифференциалах) интегрирующие множители тоже бывают, но ищутся из отдельного уравнения в частных производных и не всегда выражаются элементарно — линейный случай тем и хорош, что множитель выписывается сразу и всегда.

Где встречается: закон остывания Ньютона, зарядка конденсатора в RC-цепи, популяция с постоянным притоком, движение с вязким сопротивлением — всё это линейные уравнения первого порядка, и решаются они множителем в три строчки. Полный разбор метода — в уроке линейные ДУ и Бернулли, базовые приёмы первого порядка — в основах ДУ первого порядка, формулы на одном листе — в шпаргалке по дифференциальным уравнениям, а набить руку до автоматизма — в тренажёре ДУ.