🎲 Тервер

Распределение хи-квадрат

Q: Почему «хи-квадрат» и что такое степени свободы?

Обозначение — квадрат греческой буквы $\chi$: распределение суммы квадратов. «Степени свободы» — число независимых слагаемых; каждое линейное ограничение съедает одно. Например, в $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ слагаемых как будто $n$, но вычитание выборочного среднего связывает их, и остаётся $n - 1$.

Q: Можно ли при больших k заменить хи-квадрат нормальным?

Для быстрых прикидок — да: $\chi^2_k \approx N(k, 2k)$, уже с $k$ порядка 30–50 аппроксимация разумна. Но для критических значений на уровнях 0,05 и 0,01 чаще берут точные таблицы или ПО: хвосты хи-квадрат асимметричны, и нормальная замена заметно ошибается у краёв.

англ. Chi-squared distribution

Распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных величин: χ²ₖ = Z₁² + … + Zₖ²; среднее k, дисперсия 2k; основа критерия Пирсона и интервалов для дисперсии.

Распределение хи-квадрат с $k$ степенями свободы — распределение суммы квадратов $k$ независимых стандартных нормальных величин: $χ_{k}^{2} = Z_{1}^{2} + \dots + Z_{k}^{2}$ . Это «распределение накопленного шума»: сумма квадратов измеряет суммарное отклонение данных от ожиданий, и чем больше слагаемых, тем более симметричной (по центральной предельной теореме) становится форма.

Хи-квадрат — рабочая лошадка статистики. Нормированная выборочная дисперсия $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}}$ имеет распределение $χ_{n - 1}^{2}$ — так строятся доверительные интервалы для дисперсии; сумма квадратов расхождений в критерии согласия Пирсона сравнивается с квантилями того же распределения. Математическое ожидание равно $k$ , дисперсия $2 k$ ; плотность выражается через гамма-функцию — хи-квадрат есть гамма-распределение с формой $k /2$ и масштабом 2. Отношения независимых хи-квадрат порождают F-распределение.

χ_{k}^{2} = i = 1 \sum k Z_{i}^{2}, Z_{i} \sim N (0, 1); M [χ_{k}^{2}] = k, D [χ_{k}^{2}] = 2 k; \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ_{n - 1}^{2}

определение, моменты и статистика выборочной дисперсии

Проверь себя+10 XP

Чему равно математическое ожидание $χ_{7}^{2}$ ?

Частые вопросы

Почему «хи-квадрат» и что такое степени свободы?

Обозначение — квадрат греческой буквы $χ$ : распределение суммы квадратов. «Степени свободы» — число независимых слагаемых; каждое линейное ограничение съедает одно. Например, в $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}}$ слагаемых как будто $n$ , но вычитание выборочного среднего связывает их, и остаётся $n - 1$ .

Можно ли при больших k заменить хи-квадрат нормальным?

Для быстрых прикидок — да: $χ_{k}^{2} \approx N (k, 2 k)$ , уже с $k$ порядка 30–50 аппроксимация разумна. Но для критических значений на уровнях 0,05 и 0,01 чаще берут точные таблицы или ПО: хвосты хи-квадрат асимметричны, и нормальная замена заметно ошибается у краёв.