📈 Матанализ

Гамма-функция

Q: Почему Γ(n + 1) = n!, а не Γ(n) = n!?

Так вышло из интегрального определения: подстановка $z = n+1$ даёт $\int_0^{\infty} t^n e^{-t} dt = n!$. Сдвиг на единицу — историческая неудобность обозначения: Эйлеру мешал не он, а отсутствие непрерывного «моста» между целыми точками.

англ. Gamma function

Обобщение факториала на все комплексные числа: для натуральных n выполняется Γ(n+1) = n!; главная спецфункция математического анализа.

Гамма-функция — функция, продолжающая факториал с натуральных чисел на все комплексные значения аргумента (кроме неположительных целых). Эйлер придумал её как ответ на вопрос: что стоит между $n!$ и $(n + 1)!$ , если $n$ — не целое? Ответ даёт интеграл $\int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t$ , который сходится при положительной вещественной части $z$ и совпадает с факториалом в целых точках со сдвигом на единицу.

Три свойства делают гамма-функцию универсальным инструментом. Рекуррентность $Γ (z + 1) = z Γ (z)$ сводит вычисление в любой точке к значению на отрезке $(0; 1]$ . Значение в половинной точке $Γ (\frac{1}{2}) = π$ связывает функцию с нормальным распределением и интегралом Пуассона. Формула дополнения $Γ (z) Γ (1 - z) = \frac{π}{s i n π z}$ связывает её с тригонометрией. Через гамму выражаются бета-функция, дзета-функция и плотности почти всех статистических распределений.

Γ (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t (Re z > 0); Γ (n + 1) = n!; Γ (\frac{1}{2}) = π

определение Эйлера и два ключевых значения

Частые вопросы

Почему Γ(n + 1) = n!, а не Γ(n) = n!?

Так вышло из интегрального определения: подстановка $z = n + 1$ даёт $\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{- t} d t = n!$ . Сдвиг на единицу — историческая неудобность обозначения: Эйлеру мешал не он, а отсутствие непрерывного «моста» между целыми точками.

Где гамма-функция встречается вне теории функций?

В статистике — нормировка гамма-распределения и хи-квадрат, в физике — объёмы n-мерных шаров, статистическая сумма идеального газа, размерные регуляризация в квантовой теории поля. Везде, где нужно «факториал нецелого аргумента».