Функция распределения

Функция распределения случайной величины $X$ — вероятность того, что значение окажется меньше $x$: $F(x)=P(X<x)$. Это единый язык для всех случайных величин: у дискретной величины хранится таблица вероятностей, у непрерывной — плотность, а функция распределения описывает обе и позволяет сравнивать их на равных. Любой практический вопрос о величине — вероятность уложиться в норму, не дотянуть до порога, попасть в диапазон — сводится к значениям и приращениям $F$.

Интуиция — накопительный счётчик вероятности: идём по числовой оси слева направо и собираем массу. Отсюда три свойства, полностью характеризующие функцию: она не убывает (вероятность только копится), прижата к отрезку $[0;1]$ и на краях даёт $F(-\infty )=0$, $F(+\infty )=1$. У дискретной величины $F$ — ступенчатая ломаная, скачок в точке $x$ равен $P(X=x)$. У непрерывной — гладкая кривая без скачков: там $P(X=x)=0$ для любой точки, и вся вероятность живёт в интервалах. Медиана распределения — решение уравнения $F(x)=1/2$: к этой точке накоплена ровно половина массы.

Мини-пример с кубиком: $F(x)=0$ при $x\le 1$, далее ступеньки $1/6,2/6,3/6,4/6,5/6$ между соседними гранями и единица после $x=6$. Тогда $P(2\le X<5)=F(5)-F(2)=4/6-1/6=1/2$ — и прямая проверка сходится: исходы $\{2,3,4\}$, три из шести. Непрерывный случай: $X$ равномерно на $[0;1]$, тогда $F(x)=x$ внутри отрезка. Производная $F^{\prime }(x)=1$ — это и есть плотность: для непрерывных величин $f(x)=F^{\prime }(x)$, а обратно $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$. Вероятность $P(0.3\le X<0.7)=0.7-0.3=0.4$ считается в уме.

Дискретный случай подробно — урок дискретные случайные величины, непрерывный и плотность — урок непрерывные случайные величины. Словарь темы: математическое ожидание, дисперсия, нормальное распределение — его функция распределения табулирована в каждом задачнике, распределение Пуассона — ступенчатый пример. Основные формулы — в шпаргалке по вероятностям.