🔀 Дискретка

Формула Стирлинга

Q: Чем знак ≈ в формуле отличается от точного равенства?

Равенство здесь асимптотическое: отношение $n!$ к $\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ стремится к единице при $n \to \infty$, но никогда ей не равно. Для конкретных вычислений добавляют поправочный множитель или оценивают остаток; для оценок порядка величины хватает главной части.

англ. Stirling's approximation

Асимптотическая замена факториала: $n! \approx \sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$; относительная ошибка порядка $1/(12n)$ быстро тает с ростом $n$ — стандартный инструмент оценок в комбинаторике и теории вероятностей.

Формула Стирлинга заменяет громоздкий факториал компактной асимптотикой: при больших $n$ $n! \approx 2 π n (n / e)^{n}$ . Появилась в 1730 году в трудах Джеймса Стирлинга, хотя ключевой шаг сделал ещё де Муавр — константу $2 π$ догадались приписать вдвоём. Потребность настоящая: $n!$ растёт быстрее любой показательной функции $c^{n}$ , и перемножать сто сомножителей в поисках порядка величины бессмысленно, а формула выдаёт ответ мгновенно. Без неё не обходятся оценки биномиальных коэффициентов в комбинаторике, вывод формулы Муавра–Лапласа в теории вероятностей, расчёт энтропии в статистической физике и анализ сложности алгоритмов.

Интуиция вывода: прологарифмируем и заменим сумму интегралом. $ln n! = ln 1 + ln 2 + \dots + ln n \approx \int_{1}^{n} ln x d x = n ln n - n + 1$ , значит $n! \approx e^{n l n n - n} = (n / e)^{n}$ . Так рождается главная часть. Множитель $2 π n$ — тонкая поправка за то, что сумма всё-таки чуть больше интеграла; её уже не увидеть на пальцах, нужен анализ ошибок. Важное следствие: формула занижает факториал, относительная ошибка порядка $1/ (12 n)$ — тает медленно, но абсолютная точность растёт стремительно.

n! \approx 2 π n (\frac{n}{e})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{12 n})

главная часть плюс первое уточнение: без скобки относительная ошибка

\approx \frac{1}{12 n}

, со скобкой — уже порядка

\frac{1}{360 n ^{2}}

Мини-расчёт для $n = 10$ : $2 π \cdot 10 = 62.832 \approx 7.927$ ; $(10/ e)^{10} \approx 453999.3$ ; произведение даёт $3598 695.6$ при точном $10! = 3628800$ . Занижение $30 104.4$ , относительная ошибка $30 104.4/3 628800 \approx 0.0083$ , то есть $0.83%$ — ровно как обещает $1/ (12 \cdot 10) = 1/120 \approx 0.83%$ . Со скобкой $(1 + 1/120)$ выходит $3628685$ — промах уже $115$ . Для $n = 100$ : формула даёт $9.3248 \cdot 1 0^{157}$ при точном $9.3326 \cdot 1 0^{157}$ — ошибка $0.083%$ , как и положено $1/1200$ . Порядок величины и первые значащие цифры угаданы без единого умножения сотни чисел.

Где формула приносит пользу: подстановка в факториал центрального биномиального коэффициента даёт классику $(n 2 n) \approx \frac{4 ^{n}}{π n}$ — рабочая лошадка оценок в размещениях и сочетаниях. Пересчёт комбинаторики — урок перестановки, размещения, сочетания; вывод локальной теоремы Муавра–Лапласа — урок схема Бернулли, а роль в предельных теоремах — центральная предельная теорема. Постоянные $e$ и $π$ вспоминаются в терминах числа $e$ ; формулы для счёта вариантов — в шпаргалке по комбинаторике.

Частые вопросы

Почему формула именно занижает факториал?

Потому что усечение уточняющего ряда обрывает положительные члены. Полный ряд Стирлинга для поправки выглядит как $e^{1/ (12 n) - 1/ (360 n^{3}) + \dots}$ ; главная часть $2 π n (n / e)^{n}$ учитывает лишь нулевой член, и всё дальнейшее в первом порядке положительно — отсюда систематическое занижение и ошибка $1/ (12 n)$ .

Чем знак ≈ в формуле отличается от точного равенства?

Равенство здесь асимптотическое: отношение $n!$ к $2 π n (n / e)^{n}$ стремится к единице при $n \to \infty$ , но никогда ей не равно. Для конкретных вычислений добавляют поправочный множитель или оценивают остаток; для оценок порядка величины хватает главной части.

пошагово

Ряд на сходимость

Оценить n! по Стирлингу в пределе

Замена n! ≈ (n/e)ⁿ·√(2πn) часто спасает предел в признаке Даламбера — решатель доведёт его до ответа.

Открыть решатель