📈 Матанализ

Дробно-рациональное неравенство

Q: Почему нельзя просто умножить на знаменатель?

Знак $Q(x)$ меняется с $x$: где-то он положителен, где-то отрицателен. При умножении на отрицательное число знак неравенства обязан перевернуться, а вы этого не знаете заранее. Равносильный путь — совокупность двух систем с $Q > 0$ и $Q < 0$, либо метод интервалов по дроби целиком.

Q: Что делать, если числитель и знаменатель имеют общий корень?

Сократить нельзя молча: в общем корне дробь не определена, точка выколота. После сокращения множителя корень сохраняет выколотость: $\tfrac{x(x-1)}{x-1} \ge 0$ даёт $x \ge 0$ с выколотой единицей. Всегда выписывайте область определения до сокращения.

англ. Rational inequality

Неравенство с дробью из многочленов: всё переносится в одну сторону, нули знаменателя всегда выколоты.

Дробно-рациональное неравенство содержит дробь с многочленами: $\frac{P ( x )}{Q ( x )} □ 0$ . Золотое правило: не умножать на знаменатель — его знак неизвестен. Всё переносится в одну сторону, приводится к одной дроби, и дальше работает метод интервалов с двумя типами точек: нули числителя (по строгости) и нули знаменателя (всегда выколоты).

Пример: $\frac{x - 3}{x + 2} \geq 0$ . Нули числителя: $3$ — при нестрогом знаке закрашен; нуль знаменателя: $- 2$ — выколот всегда. Знак меняется через обе точки: минус на $(- 2; 3)$ , плюс по краям. Ответ: $(- \infty; - 2) \cup [3; + \infty)$ — обратите внимание на смешение скобок: выколотая двойка минус, закрашенная тройка плюс. Ошибка «умножил обе части на $x + 2$ » теряет случаи отрицательного знаменателя и меняет ответ целиком.

\frac{P}{Q} \geq 0 \Leftrightarrow {P \geq 0 Q > 0 или {P \leq 0 Q < 0; Q = 0 \Rightarrow точка выколота

равносильный переход и запрет нуля знаменателя

Частые вопросы

Почему нельзя просто умножить на знаменатель?

Знак $Q (x)$ меняется с $x$ : где-то он положителен, где-то отрицателен. При умножении на отрицательное число знак неравенства обязан перевернуться, а вы этого не знаете заранее. Равносильный путь — совокупность двух систем с $Q > 0$ и $Q < 0$ , либо метод интервалов по дроби целиком.

Что делать, если числитель и знаменатель имеют общий корень?

Сократить нельзя молча: в общем корне дробь не определена, точка выколота. После сокращения множителя корень сохраняет выколотость: $\frac{x ( x - 1 )}{x - 1} \geq 0$ даёт $x \geq 0$ с выколотой единицей. Всегда выписывайте область определения до сокращения.

пошагово

Разобрать дробное неравенство методом интервалов

Нули числителя и знаменателя, всегда выколотый ноль дроби: метод-разбор показывает расстановку знаков по дроби.

Открыть решатель