Дисперсия суммы

Математические ожидания складываются всегда: $M(X+Y)=M(X)+M(Y)$ — без всяких условий. С дисперсией честнее: дисперсия суммы содержит поправку на согласованность колебаний — $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\mathrm{cov}(X,Y)$. Если величины независимы, ковариация равна нулю, и получается памятное правило «дисперсии независимых слагаются»: сумма кубиков колеблется сильнее каждого слагаемого, но относительно слабее, чем складывались бы сами значения. Заметьте знак: для разности $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\mathrm{cov}$, и при независимости дисперсия разности тоже равна сумме дисперсий — разброс не вычитается, «минус» уничтожается возведением в квадрат. Полный вывод — в уроке математическое ожидание и дисперсия.

Числа: один кубик имеет $D=35/12\approx 2,92$ (значения $1$–$6$, среднее $3,5$). Сумма двух независимых кубиков: $D=70/12\approx 5,83$, отклонение $\sigma \approx 2,42$ — как и должно быть: вероятность $7$ выше всех, хвосты симметричны, треугольная таблица исходов из урока дискретные величины. Теперь $n$ независимых одинаковых величин: $D(S_n)=nD$, и среднее арифметическое ${\bar{X}}_n=S_n/n$ имеет дисперсию $D/n$, а отклонение $\sigma /\sqrt{n}$ — в $\sqrt{n}$ раз меньше исходного. Корень — причина того, что усреднение работает: $100$ измерений уменьшают шум в $10$ раз, а не в $100$. Согласованные величины портят картину: если $Y=X$ (полная зависимость), то $D(2X)=4D\ne 2D$ — двойная ставка вдвое рискованнее двух разных. См. ковариацию и дисперсию.