📈 Матанализ

Дифференцируемость

Q: Может ли функция быть непрерывной, но иметь излом?

Да — $|x|$ главный пример: график идёт без разрыва, но под углом в нуле. Излом — это разные односторонние производные. В физике излом траектории означает скачок скорости — мгновенную потерю энергии; гладкие траектории физика предпочитает не случайно.

англ. Differentiability

Функция дифференцируема в точке, если существует конечная производная; дифференцируемость влечёт непрерывность, но не наоборот — |x| непрерывен и недифференцируем в нуле.

Функция дифференцируема в точке, если предел $lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}$ существует и конечен — график имеет честную касательную без вертикальности. Цепочка импликаций: дифференцируемость $\Rightarrow$ непрерывность (ведь $f (x + Δ x) = f (x) + f^{'} Δ x + o (Δ x)$ ). Обратное неверно: $∣ x ∣$ непрерывна всюду, но в нуле производной нет — предел справа $+ 1$ , слева $- 1$ , расхождение.

Три типовых места разрыва дифференцируемости. Угол: $∣ x ∣$ в нуле, вершины кусочных функций — касательные с двух сторон разные. Вертикальная касательная: $3 x$ в нуле — предел бесконечен. Разрыв: $sign (x)$ в нуле — непрерывности нет, о производной речи нет. В задачах это проявляется в критических точках: у $∣ x - 2∣$ минимум в двойке, хотя производной там нет — кандидат найден по смене знака производной по обе стороны. Определение производной через предел — в уроке производная: определение; непрерывность — в уроке непрерывность и разрывы.

f^{'} (x_{0}) \in R \Rightarrow f непрерывна в x_{0}; ∣ x ∣ : f_{+}^{'} = 1, f_{-}^{'} = - 1

импликация и классический контрпример к обратной

Частые вопросы

Может ли функция быть непрерывной, но иметь излом?

Да — $∣ x ∣$ главный пример: график идёт без разрыва, но под углом в нуле. Излом — это разные односторонние производные. В физике излом траектории означает скачок скорости — мгновенную потерю энергии; гладкие траектории физика предпочитает не случайно.

Зачем нужна дифференцируемость в теоремах?

Теорема Лагранжа, правило Лопиталя, ряд Тейлора — все требуют дифференцируемости на интервале: без честной касательной ни наклон секущей не совпадёт с касательной, ни остаток не оценится. Проверка условий теоремы перед применением — не формальность: у $∣ x ∣$ на $[- 1; 1]$ Лагранж формально нарушается, и в нуле точка с $f^{'} = \pm 1$ не находится.