⚛️ Квантовая физика

Боровская модель атома

Q: Как по боровской модели вычислить длину волны линии Бальмера?

Возьмите энергии уровней $E_n = -13{,}6/n^2$ эВ, найдите разность для перехода и поделите $1240$ (эВ·нм) на неё. Для $n = 3 \to 2$: разность $3{,}4 - 1{,}51 = 1{,}89$ эВ, значит $\lambda = 1240/1{,}89 \approx 656$ нм — красная линия. Переходы на уровень $n = 1$ дают ультрафиолетовую серию Лаймана, на $n = 3$ — инфракрасную Пашена: серии различаются только нижним уровнем, вся структура спектра водорода — след одной формулы.

англ. Bohr model

Полуклассическая модель: электрон держится на стационарных орбитах с квантованным моментом L = nħ и излучает только при перескоке между уровнями, hν = Eₙ − Eₘ; водородная арифметика совпала с спектрами.

Планетарная модель Резерфорда имела фатальный дефект: вращающийся электрон обязан излучать и упасть на ядро за наносекунды. Бор в 1913 году разрубил узел тремя постулатами. Постулат стационарных состояний: электрон в атоме не излучает, находясь на дозволенных орбитах. Правило квантования: на орбите укладывается целое число дебройлевских волн, $L = m v r = n ℏ$ — момент импульса порциями. Правило частот: излучение происходит только при переходе, $h ν = E_{n} - E_{m}$ . Арифметика для водорода даёт радиус первой орбиты $a_{0} = 0, 053$ нм, энергии $E_{n} = - 13, 6/ n^{2}$ эВ — и серии спектра (Бальмера в видимой области) совпали с формулой до четвёртой цифры. Исторический контекст — в уроке атом водорода.

Числа модели запоминаются: энергия основного состояния $- 13, 6$ эВ — это и есть энергия ионизации водорода; переход $n = 3 \to 2$ отдаёт фотон $1, 89$ эВ ( $λ = 656$ нм) — красная линия Бальмера, та самая, по которой спектроскопы опознают водород в звёздах. Пределы модели честны: орбиты она описывает точно для водорода и ионов с одним электроном, но спин, тонкая структура, многоэлектронные атомы и интенсивности линий ей неподвластны — квантование «по окружности» слишком грубо. Современная замена — волновая механика: орбиты растаяли в вероятностные облака, см. уравнение Шрёдингера. Тем не менее боровская картинка остаётся рабочей мнемоникой уровней, а правило частот работает без изменений.

L = m v r = n ℏ, E_{n} = - \frac{13 , 6 эВ}{n ^{2}}, h ν = E_{n} - E_{m}

квантование орбит; энергетическая лестница водорода; правило частот для излучения

Частые вопросы

Почему боровская модель считается устаревшей, если она давала точные результаты?

Потому что точность была локальной: модель угадала спектр водорода, но её фундамент — чёткие орбиты — противоречит соотношению неопределённостей и не обобщается. Она не объясняет, почему некоторые переходы запрещены, не считает интенсивности линий, даёт неверные уровни для гелия и уж тем более для сложных атомов. Современная квантовая механика описывает электрон волновой функцией: «орбита» превращается в распределение вероятности. Модель Бора остаётся отличной учебной лестницей, но не теорией.

Как по боровской модели вычислить длину волны линии Бальмера?

Возьмите энергии уровней $E_{n} = - 13, 6/ n^{2}$ эВ, найдите разность для перехода и поделите $1240$ (эВ·нм) на неё. Для $n = 3 \to 2$ : разность $3, 4 - 1, 51 = 1, 89$ эВ, значит $λ = 1240/1, 89 \approx 656$ нм — красная линия. Переходы на уровень $n = 1$ дают ультрафиолетовую серию Лаймана, на $n = 3$ — инфракрасную Пашена: серии различаются только нижним уровнем, вся структура спектра водорода — след одной формулы.