🧭 ТФКП

Вычет функции

Q: Почему именно коэффициент при (z − z₀)⁻¹ так важен?

Потому что $\oint (z - z_0)^n dz$ по окружности равен $2\pi i$ только при $n = -1$ и нулю при остальных $n$: за полный оборот $\tfrac{1}{z - z_0}$ накапливает прирост аргумента $2\pi$. Все другие степени возвращаются к исходному значению — их вклады сокращаются.

англ. Residue of a function

Коэффициент c₋₁ разложения функции в ряд Лорана около изолированной особой точки; главная величина теории вычетов для вычисления контурных интегралов.

Вычет функции $f$ в изолированной особой точке $z_{0}$ — коэффициент $c_{- 1}$ её разложения в ряд Лорана $\sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ . Название оправдано: при интегрировании по маленькому контуру вокруг $z_{0}$ все степени $(z - z_{0})^{n}$ дают ноль или исчезают после полного оборота, и «в остатке» живёт ровно член с $n = - 1$ . Вычет — единственное, что контур «видит» из локального поведения функции.

Основная теорема о вычетах превращает контурные интегралы в арифметику: интеграл по замкнутому контуру равен $2 π i$ , умноженному на сумму вычетов внутри. Простой полюс вычисляется пределом $Res_{z_{0}} f = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z)$ , а для дроби $g / h$ с простым корнем знаменателя — формулой $g (z_{0}) / h^{'} (z_{0})$ . Отсюда классические приложения: вещественные интегралы от рациональных и тригонометрических функций через контур в верхней полуплоскости, суммы рядов $\sum 1/ n^{2}$ через вычеты котангенса. См. также вычет и работу с комплексными числами.

Res_{z_{0}} f = c_{- 1} = z \to z_{0} lim (z - z_{0}) f (z); \oint_{Γ} f (z) d z = 2 π i k \sum Res_{z_{k}} f

вычет простого полюса и основная теорема о вычетах

Проверь себя+10 XP

Чему равен вычет функции $f (z) = \frac{1}{z - 2}$ в точке $z = 2$ ?

Частые вопросы

Почему именно коэффициент при (z − z₀)⁻¹ так важен?

Потому что $\oint (z - z_{0})^{n} d z$ по окружности равен $2 π i$ только при $n = - 1$ и нулю при остальных $n$ : за полный оборот $\frac{1}{z - z _{0}}$ накапливает прирост аргумента $2 π$ . Все другие степени возвращаются к исходному значению — их вклады сокращаются.

Вычет в устранимой особой точке всегда нулевой?

Да: у устранимой точки нет отрицательных степеней в ряде Лорана, значит $c_{- 1} = 0$ . Обратное неверно: в полюсе порядка выше первого вычет тоже может оказаться нулём (например, у $1/ z^{2}$ в нуле), поэтому «нулевой вычет» не значит «нет особенности».