📈 Матанализ

Возвратное уравнение

Q: Какие кандидаты t допустимы в замене x + 1/x = t?

Любые действительные: для каждого $t$ уравнение $x^2 - tx + 1 = 0$ имеет дискриминант $t^2 - 4$, при $|t| \ge 2$ корни действительны, при $|t| < 2$ — комплексные. Так что отбрасывать надо не кандидата $t$, а кандидатов вне $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$ после возврата: в примере выше $t = -1$ не дал действительных корней именно поэтому.

англ. Reciprocal (palindromic) equation

Уравнение ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0 с симметричными коэффициентами; решается делением на x² и заменой t = x + 1/x.

Возвратное уравнение четвёртой степени имеет коэффициенты-палиндром: $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0$ — второй и четвёртый коэффициенты совпадают, свободный член равен старшему. Симметрия не декоративна: $x_{0}$ корень тогда и только тогда, когда $\frac{1}{x _{0}}$ корень — корни ходят парами «число и обратное». Благодаря этому деление на $x^{2}$ (легально, ведь $x = 0$ не корень — свободный член ненулевой) даёт $a (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) + b (x + \frac{1}{x}) + c = 0$ .

Замена $t = x + \frac{1}{x}$ сворачивает первую скобку: $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ — и уравнение становится квадратным $a (t^{2} - 2) + b t + c = 0$ . Пример: $x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ после деления на $x^{2}$ и замены даёт $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ , кандидаты $t = 4$ и $t = - 1$ ; возврат $x + \frac{1}{x} = 4$ даёт $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ с корнями $2 \pm 3$ , а $x + \frac{1}{x} = - 1$ — уравнение $x^{2} + x + 1 = 0$ без действительных корней. Ответ: два корня вместо потенциальных четырёх — симметрия отфильтровала. Общий приём замены с барьерами — в термине метод замены переменной.

a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0 \div x^{2}, t = x + 1/ x a (t^{2} - 2) + b t + c = 0

деление на x² законно: ноль не корень при a ≠ 0; возврат через квадратное уравнение

Частые вопросы

Почему можно делить на x² без потери корней?

Потому что ноль не является корнем возвратного уравнения с $a \neq = 0$ : подстановка $x = 0$ даёт $a \neq = 0$ — противоречие. Значит, все настоящие корни ненулевые, и деление на $x^{2}$ их не теряет; уравнение $x = 0$ как возможное решение исключено заранее. Это частный случай правила: делить можно, если случай нуля выражения разобран отдельно.

Какие кандидаты t допустимы в замене x + 1/x = t?

Любые действительные: для каждого $t$ уравнение $x^{2} - t x + 1 = 0$ имеет дискриминант $t^{2} - 4$ , при $∣ t ∣ \geq 2$ корни действительны, при $∣ t ∣ < 2$ — комплексные. Так что отбрасывать надо не кандидата $t$ , а кандидатов вне $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ после возврата: в примере выше $t = - 1$ не дал действительных корней именно поэтому.