Условия Коши—Римана

Условия Коши—Римана связывают вещественную и мнимую части функции $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$: $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$. Для функции комплексной переменной дифференцируемость — жёсткое требование: предел $\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$ не должен зависеть от пути подхода, а условия Коши—Римана ровно это и кодируют. Если $u$ и $v$ имеют непрерывные частные производные и условия выполнены в окрестности точки, $f$ аналитична. Полная теория — в уроке аналитические функции.

Проверка на примере занимает минуту: для $z^2=(x^2-y^2)+2ixy$ имеем $u_x=2x=v_y$, $u_y=-2y=-v_x$ — аналитично всюду. Контрпример поучительнее: $f(z)=\bar{z}$ даёт $u=x$, $v=-y$, условия нарушаются в каждой точке — функция непрерывна и даже «гладкая на вид», но нигде не дифференцируема. Следствие условий: $u$ и $v$ — гармонические функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, и наоборот, по гармонической $u$ можно восстановить аналитическую $f$ с точностью до константы. Этот мост между ТФКП и гармоническими функциями — рабочий инструмент задач Дирихле.