🌊 Диффуры

Уравнение с разделяющимися переменными

Q: Как понять, что переменные разделяются?

Правую часть $y' = F(x, y)$ нужно уметь разложить в произведение множителя от $x$ и множителя от $y$. Признаки: каждый элемент $F$ — либо функция только $x$, либо только $y$, либо их произведение. Контрпример: $y' = x + y$ — сумму в произведение не свернуть, метод не работает; зато замена $u = x + y$ сводит его к разделяющемуся. Так что «не разделяется» не приговор, а приглашение к замене.

Q: Зачем писать $\pm$ и модуль под логарифмом?

Потому что интеграл от $1/y$ равен $\ln|y|$, и модуль хранит информацию о знаке решения. Если небрежно написать $\ln y$, семейство получится только для $y > 0$, и отрицательные решения пропадут из ответа, хотя удовлетворяют уравнению. Аккуратный путь: держать модуль до потенцирования, а константу $C = \pm e^{C}$ считать произвольного знака — тогда $y = C_1 e^{x^2/2}$ автоматически покрывает оба знака и ноль.

англ. Separable differential equation

ДУ первого порядка вида y′ = f(x)·g(y): переменные разводятся по разным сторонам и каждая сторона интегрируется независимо.

Сортировка белья по двум корзинам — светлое отдельно от тёмного: уравнение с разделяющимися переменными допускает ту же операцию. Уравнение $y^{'} = f (x) g (y)$ переписывают как $\frac{d y}{g ( y )} = f (x) d x$ : всё, что касается $y$ , — слева, всё, что касается $x$ , — справа. После этого каждая сторона интегрируется независимо, и общий ответ получается в виде неявной связи $G (y) = F (x) + C$ . Это первый метод в любом курсе, потому что он закрывает целый пласт прикладных задач: остывание кофе, размножение бактерий, разряд конденсатора — везде скорость пропорциональна текущему количеству.

Разберём честно: $y^{'} = x y$ . Разделяем: $\frac{d y}{y} = x d x$ (случай $y = 0$ проверяется отдельно — тоже решение). Интегрируем: $ln ∣ y ∣ = \frac{x ^{2}}{2} + C$ , и после потенцирования $y = C_{1} e^{x^{2} /2}$ — семейство колоколов с растущей крутизной. Проверка подстановкой: $y^{'} = C_{1} x e^{x^{2} /2}$ и $x y = C_{1} x e^{x^{2} /2}$ — совпало. Ловушка метода: деление на $g (y)$ теряет нули $g$ ; в примере решение $y \equiv 0$ при делении пропало бы, если не присмотреться. Вторая ловушка — потеря модуля под логарифмом: уравнение $y^{'} = y^{2}$ делит на $y^{2}$ и теряет решение $y \equiv 0$ , а его константа иная, чем у семейства $y = - \frac{1}{x + C}$ . Техника подготовки уравнений описана в уроке ДУ первого порядка: основы, а общее определение — в термине дифференциальное уравнение.

y^{'} = f (x) g (y) ⟹ \int \frac{d y}{g ( y )} = \int f (x) d x + C

схема разделения переменных; для

y^{'} = x y

интегралы дают

ln ∣ y ∣ = \frac{x ^{2}}{2} + C

, то есть

y = C_{1} e^{x^{2} /2}

Частые вопросы

Как понять, что переменные разделяются?

Правую часть $y^{'} = F (x, y)$ нужно уметь разложить в произведение множителя от $x$ и множителя от $y$ . Признаки: каждый элемент $F$ — либо функция только $x$ , либо только $y$ , либо их произведение. Контрпример: $y^{'} = x + y$ — сумму в произведение не свернуть, метод не работает; зато замена $u = x + y$ сводит его к разделяющемуся. Так что «не разделяется» не приговор, а приглашение к замене.

Зачем писать $\pm$ и модуль под логарифмом?

Потому что интеграл от $1/ y$ равен $ln ∣ y ∣$ , и модуль хранит информацию о знаке решения. Если небрежно написать $ln y$ , семейство получится только для $y > 0$ , и отрицательные решения пропадут из ответа, хотя удовлетворяют уравнению. Аккуратный путь: держать модуль до потенцирования, а константу $C = \pm e^{C}$ считать произвольного знака — тогда $y = C_{1} e^{x^{2} /2}$ автоматически покрывает оба знака и ноль.

Частые вопросы

Как понять, что переменные разделяются?

Зачем писать ± и модуль под логарифмом?

Зачем писать $\pm$ и модуль под логарифмом?