Уравнение с модулем
англ. Equation with absolute value
Уравнение с |f(x)|, решаемое раскрытием модуля по определению, заменой t = |f(x)| или геометрически — через расстояния на числовой оси.
Модуль — расстояние до нуля: он неотрицателен и снимает знак. Уравнения с модулем решаются тремя приёмами. Первый — определение: при распадается на или ; при решений нет. Пример: даёт или — две точки на оси, отстоящие от двойки на три шага. Второй приём — замена для уравнений, где модуль встречается в степенях: даёт , возврат — .
Третий приём — геометрия: уравнение спрашивает про точку, равноудалённую от и — это середина без всякой алгебры. Для суммы модулей картинка тоже работает: это сумма расстояний до точек и , и она равна пяти вне отрезка , где минимальна и равна трём — ответ или . В сложных случаях модули раскрывают по интервалам знаков: каждый модуль меняет поведение на своей точке излома. Связь с квадратными заменами и отбором — через метод замены переменной; базовые свойства модуля — в шпаргалке степеней и корней.
Частые вопросы
Почему |f(x)| = −1 не имеет решений?
Потому что модуль — расстояние, а расстояние не бывает отрицательным: при любом выражении. Уравнение требует неотрицательную величину равной минус единице — противоречие по определению. Аналогично имеет решение только там, где — модуль обнуляется вместе с подмодульным выражением.
Как решать уравнение с двумя разными модулями?
Методом интервалов знаков: нули подмодульных выражений делят ось на участки, на каждом модули раскрываются с фиксированными знаками, и получается обычное линейное уравнение. Решив на каждом участке, оставляйте только те корни, что лежат в самом участке — проверка области обязательна, иначе появятся посторонние кандидаты.