🌐 Матфизика

Сходимость разностной схемы

англ. Convergence of a difference scheme

Решение сеточной задачи стремится к решению исходного уравнения при измельчении сетки; по теореме Лакса для корректной линейной задачи аппроксимация плюс устойчивость дают сходимость.

Компьютер не решает дифференциальное уравнение в частных производных — он решает его сеточную замену, и вопрос о сходимости встаёт перед каждой вычислительной задачей. Сходимость разностной схемы — стремление решения разностной задачи к решению исходного уравнения при измельчении сетки: норма разности $∥ u_{j}^{n} - u (t_{n}, x_{j}) ∥ \to 0$ при $Δ t, Δ x \to 0$ . Аппроксимация — совпадение схемы с уравнением с точностью до малых шагов — сама по себе сходимость не гарантирует: неустойчивая схема даже при точной аппроксимации разгоняет ошибки округления в осциллирующую кашу. Спасает теорема Лакса: для линейной корректной задачи устойчивая аппроксимирующая схема сходится. Триада «аппроксимация — устойчивость — сходимость» разложена в статье устойчивость разностной схемы, а мера скорости приближения — в термине порядок сходимости.

Для явной схемы уравнения теплопроводности $u_{t} = a^{2} u_{xx}$ аппроксимация имеет порядок $O (Δ t + Δ x^{2})$ : первый по времени, второй по пространству. Схема устойчива при $r = a^{2} Δ t /Δ x^{2} \leq 1/2$ , поэтому при $a^{2} = 1$ и $Δ x = 0, 1$ шаг по времени не превышает $0, 005$ : шаг следует за квадратом шага сетки, и утроение разрешения по пространству умножает число шагов по времени на девять — точность дорожает быстро. Проверка на практике — прогон на измельчающихся сетках: если при уменьшении $Δ x$ вдвое погрешность падает примерно вчетверо, второй порядок подтверждён. Каждая гармоника начального профиля умножается за шаг на $G (θ) = 1 - 4 r sin^{2} (θ /2)$ : при $r = 1/4$ самая пилообразная гармоника гасится за один шаг — $G (π) = 0$ . Как строятся сами схемы, показано в уроке метод сеток.

G (θ) = 1 - 4 r sin^{2} \frac{θ}{2}, r = \frac{a ^{2} Δ t}{Δ x ^{2}} \leq \frac{1}{2} ⟹ ∥ u^{h} - u ∥ \to 0 при Δ t, Δ x \to 0

множитель гармоники за шаг и граница устойчивости явной схемы тепла; при

a^{2} = 1

Δ x = 0, 1

Δ t \leq 0, 01/2 = 0, 005

; при

r = 1/4

выходит

G (π) = 1 - 1 = 0

— пилообразная гармоника исчезает за шаг, при

r = 1/2

выходит

G (π) = - 1

— колебание уже не растёт

Частые вопросы

Чем сходимость отличается от аппроксимации и устойчивости?

Аппроксимация — совпадение разностного уравнения с исходным при малых шагах: схема «правильно записана». Устойчивость — ошибки данных и округления не растут от слоя к слою: схема «не взрывается». Сходимость — сеточное решение приближается к точному при измельчении сетки. Из аппроксимации и устойчивости теорема Лакса выводит сходимость для корректных линейных задач; проверять свойства нужно по отдельности: схема может точно аппроксимировать уравнение и всё же расходиться, если неустойчива.

Как на практике убедиться, что схема сходится?

Стандартный приём — прогон на измельчающихся сетках: решение на грубой сетке сравнивают с решением на вдвое мелкой и по отношению погрешностей восстанавливают фактический порядок. Ошибка при уменьшении шага вдвое упала вчетверо — работает второй порядок; вдвое — первый. Здоровый признак — стабилизация результата при дальнейшем сгущении, а на мелких сетках важно, чтобы ошибки округления не заглушали погрешность аппроксимации. Такой сеточный анализ — обязательный этап верификации программ.