📈 Матанализ

Признак Абеля

Q: Чем признак Абеля отличается от признака Дирихле?

Требования разнесены: Абель требует сходимости $\sum a_n$, Дирихле — только ограниченности её частичных сумм, но зато у Дирихле нужно $b_n \to 0$. Оба доказываются суммированием по частям (леммой Абеля) и часто применяются вместе: сначала Дирихле внутри интервала, затем Абель на границе.

Q: Можно ли применить признак Абеля к ряду Σ(−1)ⁿ(1 + 1/n)?

Нельзя: множитель $1 + 1/n$ монотонен, но сходится к единице, а не сохраняет сходимость исходного знакочередующегося ряда в нужном смысле — на деле $\sum (-1)^n(1 + 1/n)$ расходится, поскольку его частичные суммы не стягиваются. Признак требует именно сходимости опорного ряда $\sum a_n$.

англ. Abel's test

Признак сходимости: если ряд Σaₙ сходится, а последовательность bₙ монотонна и ограничена, то ряд Σaₙbₙ сходится; парный признаку Дирихле.

Признак Абеля отвечает на вопрос: что будет с рядом $\sum a_{n} b_{n}$ , если «хорошую» часть $\sum a_{n}$ испортить плавным множителем? Ответ — ничего: если $\sum a_{n}$ сходится, а $(b_{n})$ монотонна и ограничена, то произведение тоже сходится. Интуиция Абеля — суммирование по частям: монотонный ограниченный множитель «не разгоняет» частичные суммы.

Признак работает в паре с признаком Дирихле: тот требует лишь ограниченности частичных сумм $\sum a_{n}$ вместо сходимости, но компенсирует это стремлением $b_{n} \to 0$ . Типичное применение Абеля — ряды $\sum r^{n} cos n φ$ при $r \to 1^{-}$ : для каждого $r < 1$ ряд сходится абсолютно, монотонность $r^{n}$ и сходимость $\sum cos n φ$ (в смысле Дирихле) дотягивают сходимость до границы. Вместе с признаками Даламбера и Коши признаки Абеля–Дирихле покрывают ряды с монотонными множителями; обзор всех инструментов — в разделе признаки сходимости.

n = 1 \sum \infty a_{n} сходится, (b_{n}) монотонна и ограничена \Rightarrow n = 1 \sum \infty a_{n} b_{n} сходится

формулировка признака Абеля

Частые вопросы

Чем признак Абеля отличается от признака Дирихле?

Требования разнесены: Абель требует сходимости $\sum a_{n}$ , Дирихле — только ограниченности её частичных сумм, но зато у Дирихле нужно $b_{n} \to 0$ . Оба доказываются суммированием по частям (леммой Абеля) и часто применяются вместе: сначала Дирихле внутри интервала, затем Абель на границе.

Можно ли применить признак Абеля к ряду Σ(−1)ⁿ(1 + 1/n)?

Нельзя: множитель $1 + 1/ n$ монотонен, но сходится к единице, а не сохраняет сходимость исходного знакочередующегося ряда в нужном смысле — на деле $\sum (- 1)^{n} (1 + 1/ n)$ расходится, поскольку его частичные суммы не стягиваются. Признак требует именно сходимости опорного ряда $\sum a_{n}$ .