🎲 Тервер

Предельная ошибка выборки

Q: Где брать коэффициент доверия t?

Из функции Лапласа по условию $2\Phi(t) = \gamma$: стандартные пары $t = 1$ ($\gamma \approx 0{,}68$), $t = 1{,}96$ ($0{,}95$), $t = 2$ ($0{,}954$), $t = 3$ ($0{,}997$). Социология обычно живёт при $\gamma = 0{,}95$, контроль качества любит $0{,}997$. Если выборка мала ($n < 30$) и $\sigma$ оценена по ней же, нормальный коэффициент заменяют квантилем распределения Стьюдента — иначе коридор выйдет обманчиво узким.

Q: Как уменьшить предельную ошибку втрое?

Ошибка пропорциональна $1/\sqrt{n}$, значит, выборку придётся увеличить в девять раз: с $400$ до $3600$ наблюдений. Дешевле работают другие рычаги: снизить $\sigma$, стабилизировав процесс, — иногда это проще, чем собирать данные; перейти на типическую (расслоённую) выборку с меньшим эффективным разбросом; согласиться на меньшую гарантию $\gamma$ и меньший $t$. Бесконечно точной оценки не бывает: при фиксированном бюджете всегда торг между $\Delta$, $\gamma$ и $n$.

англ. Margin of error

Радиус доверительного коридора вокруг выборочного показателя: Δ = t·σ/√n для средней, Δ = t·√(w(1−w)/n) для доли. t — коэффициент доверия, привязанный к гарантийной вероятности γ.

Выборочное среднее $101, 2$ г — а сколько можно верить цифре? Ответ оформляют через предельную ошибку выборки: $Δ = t \cdot σ / n$ , где $σ / n$ — средняя (стандартная) ошибка, а $t$ — коэффициент доверия по гарантийной вероятности $γ$ : $t = 1$ при $γ \approx 0, 68$ , $t = 2$ при $0, 954$ , $t = 3$ при $0, 997$ . Для доли меняется лишь разброс: $σ^{2} \to w (1 - w)$ , где $w$ — выборочная доля. Результат: генеральная средняя лежит в коридоре $\overset{ˉ}{X} \pm Δ$ с вероятностью $γ$ . Полную механику собирает урок доверительные интервалы, готовые формулы — шпаргалка по статистике.

Считаем: $n = 400$ деталей, $\overset{ˉ}{X} = 50, 4$ мм, $σ = 8$ мм, $γ = 0, 954$ , значит $t = 2$ . Ошибка $Δ = 2 \cdot 8/20 = 0, 8$ мм, коридор: $49, 6 \leq μ \leq 51, 2$ мм. Для доли: брак $w = 0, 1$ при $n = 400$ даёт $0, 09/400 = 0, 015$ и $Δ_{w} = 0, 03$ — доля брака в партии от $7%$ до $13%$ . Рычаги: ошибка растёт с $σ$ и $t$ , тает как $1/ n$ — десятикратное уточнение требует стократной выборки, поэтому дешевле сначала стабилизировать процесс, чем собрать миллион измерений.

Δ = t \frac{σ}{n}, \overset{ˉ}{X} - Δ \leq μ \leq \overset{ˉ}{X} + Δ; Δ_{w} = t \frac{w ( 1 - w )}{n}

предельная ошибка и доверительный коридор для средней и для доли; t подбирается по гарантийной вероятности γ

Частые вопросы

Где брать коэффициент доверия t?

Из функции Лапласа по условию $2Φ (t) = γ$ : стандартные пары $t = 1$ ( $γ \approx 0, 68$ ), $t = 1, 96$ ( $0, 95$ ), $t = 2$ ( $0, 954$ ), $t = 3$ ( $0, 997$ ). Социология обычно живёт при $γ = 0, 95$ , контроль качества любит $0, 997$ . Если выборка мала ( $n < 30$ ) и $σ$ оценена по ней же, нормальный коэффициент заменяют квантилем распределения Стьюдента — иначе коридор выйдет обманчиво узким.

Как уменьшить предельную ошибку втрое?

Ошибка пропорциональна $1/ n$ , значит, выборку придётся увеличить в девять раз: с $400$ до $3600$ наблюдений. Дешевле работают другие рычаги: снизить $σ$ , стабилизировав процесс, — иногда это проще, чем собирать данные; перейти на типическую (расслоённую) выборку с меньшим эффективным разбросом; согласиться на меньшую гарантию $γ$ и меньший $t$ . Бесконечно точной оценки не бывает: при фиксированном бюджете всегда торг между $Δ$ , $γ$ и $n$ .