Мода распределения

Мода — самое вероятное значение случайной величины: точка, где плотность достигает максимума; у дискретной величины — значение с наибольшей вероятностью. Это самая «демократичная» из характеристик центра: она отвечает на вопрос «что вероятнее всего увидишь», а не «что в среднем» или «что посередине массы». Для непрерывной величины моду ищут, приравняв производную плотности к нулю и проверив знак; для дискретной — просто смотрят в таблицу вероятностей. В биномиальной схеме наивероятнейшее число успехов считается по неравенству $(n+1)p-1\le k\le (n+1)p$ — см. схему Бернулли. Мода есть не у всех: у равномерного распределения плотность плоская, мода не выделена; зато распределений с несколькими модами (двугорбых) в природе много — размеры одежды, время пробок.

Примеры. Биномиальное с $n=10$, $p=0,5$: вероятности $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{k}\right)/1024$ максимальны при $k=5$ — мода $5$. Возьмём $p=0,3$: неравенство даёт $3,3-1=2,3\le k\le 3,3$, единственная мода $k=3$, $P(3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)0,3^{3}0,7^7\approx 0,267$. Непрерывный пример: плотность $f(x)=2x$ на $[0,1]$ возрастает, максимум на правом конце $x=1$ — мода на границе, хотя производная там не ноль; производная поймает только внутренние максимумы. Триада «мода — медиана — среднее» — быстрая рентгеновская снимка формы: в правоскошенном распределении мода левее медианы, а медиана левее среднего. Про медиану подробнее — в терминах медиана распределения, о среднем — в математическом ожидании.