Медиана распределения

Медиана распределения — значение $Me$, при котором функция распределения проходит через $0,5$: $P(X<Me)=P(X>Me)=0,5$. Это квантиль уровня $0,5$ — середина массы вероятности, а не середина числовой оси. Её главное достоинство — устойчивость: медиана зависит от распределения только в окрестности половины массы, поэтому один олигарх в выборке не сдвинет медиану доходов ни на копейку, тогда как среднее взлетит. При сильной асимметрии распределений (доходы, сроки выполнения, время починки) именно медиана честно отвечает на вопрос «что типично». Для симметричных распределений медиана совпадает со средним и модой — у нормального все три характеристики сидят в одной точке.

Примеры. Показательное распределение с $\lambda =0,5$ (среднее $2$ минуты): медиана $-\ln 0,5/0,5\approx 1,39$ минуты. Асимметрия видна наглядно: половина ожиданий короче $1,39$ минуты, но среднее в полтора раза больше — длинный хвост редких долгих ожиданий тянет его вправо. Зарплаты в отделе из $5$ человек: $60$, $65$, $70$, $75$, $500$ тыс. Среднее $154$ тыс., медиана $70$ тыс. — типичный сотрудник ближе к медиане. В выборке из чётного числа элементов медиану берут как полусумму двух средних: для $60$, $65$, $70$, $500$ выходит $67,5$. Как считать по данным и где медиана незаменима — в уроке выборка и оценки; связь с математическим ожиданием полезна при выборе характеристики центра.